On the density of some sequences of numbers. III. (Q2595871)

Es sei \(g(x) = x\) für \(|x|\leqq 1\), \(g(x)=1\) für \(|x|>1\), \(h(x) = \min (1,|x|)\). Dann wird gezeigt: Wenn eine Funktion \(f(m)\) für jedes ganze \(m\geqq 0\) erklärt ist und für teilerfremde \(m_1\), \(m_2\) der Bedingung \[ f(m_1m_2) = f(m_1) + f(m_2) \] genügt und die über die Primzahlen \(p\) erstreckten Reihen \(\sum\limits_p \dfrac{g(f(p))}p\) und \(\sum\limits_p \dfrac{h^2(f(p))}p\) konvergieren, so hat für jedes reelle \(c\) die Menge der \(m\) mit \(f(m) \geqq c\) eine Dichte \(\psi(c)\). Je nachdem die Summe der reziproken Werte der Primzahlen \(p\) mit \(f(p) \neq 0\) divergiert oder konvergiert, ist die Funktion \(\psi(c)\) überall oder nur bis auf isolierte Stellen stetig.