Sur les équations diophantiennes liées aux unités d'un corps de nombres algébriques fini. (Q2595882)

Verf. studiert die ganzzahligen Lösungen des Gleichungssystems \[ \begin{gathered} \text{Norm}\,(\mathfrak X_1\omega_1 + \cdots + \mathfrak X_n\omega_n) = \pm 1,\\ F_j(\mathfrak X_1, \ldots, \mathfrak X_n)= 0 \quad (j = 1,2,\ldots, h), \end{gathered} \] wo \(\omega_1\), \dots, \(\omega_n\) eine Basis der ganzen Zahlen eines algebraischen Körpers \(K\) darstellen. Er beweist aufs neue und verallgemeinert frühere Resultate von \textit{Thue} und Ref., welche die Fälle \(h=n-2\), \(r \leqq n - 2\), die \(F_j\) linear homogen (\(r\) ist die Zahl der Grundeinheiten nach \textit{Dirichlet}) und \(n = 5\), \(h=2\), \(r=2\) betreffen. Sein wichtigstes Ergebnis ist: Indem die Zahlen des Körpers \(K\) als Punkte in einem \(n\)-dimensionalen Raume aufgefaßt werden, gilt: Enthält eine algebraische Mannigfaltigkeit der Dimension \(s\leqq n - r - 1\) eine unendliche Menge \(E\) von Einheiten aus \(K\), so gibt es mindestens eine Untergruppe \(\gamma\) der Einheitsgruppe \(\varGamma\), so daß gilt: (1) Mindestens eine der Nebengruppen zu \(\gamma\) enthält eine unendliche Untermenge von \(E\). (2) Zwischen \(\sigma = r + s - 1\) beliebigen der Konjugierten jeder Einheit \(\varepsilon\) aus \(\gamma\), etwa \(\varepsilon^{(q_1)}\), \dots, \(\varepsilon^{(q_\sigma)}\), gilt eine Relation \[ \varepsilon^{(q_1)^{m_1}}\cdot \ldots \cdot \varepsilon^{(q_\sigma)^{m_\sigma}}= 1 \] mit ganzen \(m_1\), \dots, \(m_\sigma\), die nicht alle null und unabhängig von \(\varepsilon\) sind. Hieraus folgt für eine große Klasse algebraischer Körper, wozu z. B. die vom Primzahlgrad und die, deren Gruppe die symmetrische ist, gehören: Eine algebraische Mannigfaltigkeit der Dimension \(s\leqq n - r - 1\) enthält nur endlich viele Einheiten. Besitzt \(K\) mindestens zwei Paare konjugiert imaginärer Körper, so gibt es dann und nur dann unendlich viele Einheiten in einem dreidimensionalen Modul \(M\) in \(K\), wenn \(M\) zwei Zahlen \(\varphi\) und \(\psi\) enthält, \(\varphi\) Einheit, derart daß \(\vartheta=\dfrac \psi\varphi\) reell quadratisch ist. Ist \(\varepsilon\) Grundeinheit in \(R(\vartheta)\), so stellt \(\varphi\varepsilon^n\) (\(n\) ganz rational) alle Einheiten aus \(M\), möglicherweise mit endlich vielen Ausnahmen, dar. Als Hilfsmittel gibt Verf. im ersten Kapitel die wichtigsten Tatsachen über \(p\)-adische Potenzreihen und im zweiten Kapitel einige Sätze über Mengen von Punkten, die eine Abelsche Gruppe bilden in bezug auf die Operation, die in der Multiplikation der Koordinaten desselben Index besteht. Im dritten Kapitel folgen die Anwendungen auf diophantische Gleichungen.