Un théorème sur les systèmes de formes linéaires. (Q2595888)

Es sind \(r\) Systeme von je \(s\) reellen Zahlen \[ \theta_{i1}, \theta_{i2}, \ldots, \theta_{is} \quad (i =1,2, \ldots, r) \tag{1} \] durch ganze Zahlen simultan zu approximieren. Es werden Resultate von \textit{A. Khintchine} (Math. Z. 24 (1926), 706--714; F. d. M. 52, 183 (JFM 52.0183.02)) und ein früheres Ergebnis des Verf. (Zur metrischen Theorie der Linearformen, Bull. Acad. Sci. URSS, Moscou, Cl. Sci. math. natur. Sér. math. 1937, 427--443; JFM 63.0919.03) mit dem Satz verallgemeinert: Damit das Ungleichungssystem \[ \begin{gathered} |a_1 \theta_{i1} +a_2 \theta_{i2} + \cdots + a_s \theta_{is}-b_i|< \psi(n) \quad (i = 1, 2, \ldots, r), \\ n = \max |a_k| \quad (k=1, \ldots, s), \quad \psi(t) > 0 \quad \text{für} \quad t > 0, \end{gathered} \] unendlich viele Lösungen in ganzen Zahlen \(a_1\), \dots, \(a_s\), \(b_1\), \dots, \(b_r\) für fast alle Systeme (1) besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß das Integral \(\int\limits_0^\infty t^{s-1}\{\psi(t)\}^r\,dt\) divergiert. -- Der Beweis wird skizziert.