Fractions. (Q2595900)

Brüche werden durch Kreise dargestellt, und zwar wird der rationale Bruch \(\dfrac pq\) dargestellt durch einen Kreis mit dem Radius \(\dfrac 1{2q^2}\), der in der oberen Halbebene eines rechtwinkligen \((x,y)\)-Koordinatensystems liegt und die \(x\)-Achse an der Stelle \(x =\dfrac pq\) berührt. Die Kreise verschiedener gekürzter Brüche berühren entweder einander, oder sie sind punktfremd. \(\dfrac pq\) und \(\dfrac PQ\) sind angrenzende Brüche, wenn \(|Pq - pQ|=1\) ist. Ihre Kreise berühren einander. Jeder Bruch besitzt einen angrenzenden. Sind \(\dfrac pq\) und \(\dfrac PQ\) angrenzend, so werden alle an \(\dfrac pq\) angrenzenden durch \(\dfrac {P_n}{Q_n}=\dfrac {P+np}{Q+nq}\) geliefert. Aus diesem Begriff wird der des Maschendreiecks entwickelt. Diese Begriffe werden erfolgreich angewandt auf die Untersuchung von Farey-Reihen und auf Approximationsprobleme. Der Beweis des \textit{Hurwitz}schen Satzes über die Approximation reeller Zahlen durch rationale gelingt sehr einfach. Das Auffinden der Näherungsnenner bei Kettenbruchentwicklungen reeller Zahlen wird angegeben. Zum Schluß weist Verf. auf die Darstellung komplexer Brüche durch Kugeln hin.