Zur Theorie der Approximation einer irrationalen Zahl durch rationale Zahlen. (Q2595910)

\(\alpha\) sei reell irrational mit der regulären Kettenbruchentwicklung \(\alpha= (a_0,a_1,a_2,\ldots)\); \(\dfrac{p_n}{q_n}\) sei der \(n\)-te Näherungsnenner. Weiter seien \(\varphi_\alpha(t) = \liminf\limits_{0<x<t}|(\alpha x y)t|\) für ganze \(x\), \(y\) und \(S_\alpha =\limsup \varphi_\alpha(t)\); \(T_\alpha= \dfrac{S_\alpha}{1-S_\alpha}\). Dann wird gezeigt: Wenn \(T_\alpha < 2 + \sqrt 5\) ist, dann muß \(\alpha\) einer der Zahlen \[ \alpha_1=(1,1,1,\ldots), \quad \alpha_2=(1,2,\overset \frown {1,2},\ldots), \quad \alpha_3= (1,1,1,2, \widehat {1,1,1,2},\ldots) \] äquivalent sein. Der Beweis ist elementar.