On a recurrence relation. (Q2595934)

Verf. betrachtet die durch die Rekursionsformel \[ u_n - a_nu_{n-1} = k_n (\theta_n - b_n\theta_{n-1})\quad \text{mit}\quad k_n=\dfrac{1-a_n}{1-b_n}\quad\text{und}\quad u_1 = \theta_1 \tag{1} \] festgelegte Folge (\(u_n\)) und zeigt, daß aus der Konvergenz von (\(\theta_n\)) gegen l die Konvergenz von (\(u_n\)) gegen denselben Grenzwert folgt, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: \[ \prod\limits_{\nu=0}^n a_\nu \to 0\quad\text{für}\quad n\to \infty \] und \[ |a_nk_{n-1} - k_nb_n|\leqq\alpha_n-\alpha_{n-1}|a_n|, \] wo (\(\alpha_n\)) und (\(k_n\)) beschränkte Folgen sind.