On the approach of a series to its Cesàro limit. (Q2595961)

Verf. untersucht einige mit der Cesàroschen Summierbarkeit verknüpfte Eigenschaften von Reihen \(\sum\limits_0^\infty a_n\), deren Cesàrosche Summen \(p\)-ter Ordnung den Beziehungen \[ S_n^{(p)} = s\cdot\binom{n+p}{n} + O(n^{p-\varrho})\qquad \text{bzw.} \tag{1a} \] \[ S_n^{(p)} = s\cdot \binom{n+p}{n} + \lambda\binom{n+p-\varrho}{n}+o(n^{p-\varrho}) \tag{1b} \] mit \(0 < \varrho\leqq p\) genügen, und führt so die Untersuchungen fort, die \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} unter den Voraussetzungen \(S_n^{(p)} = O(n^{p+\beta})\) bzw. \(S_n^{(p)} = o(n^{p+\beta})\) mit \(\beta > 0\) gegeben haben (Proc. London math. Soc. (2) 11 (1912), 411-478; F. d. M. 43, 312 (JFM 43.0312.*)). Er zeigt z. B.: Wenn \(1=\varrho\leqq p\) ist und \(\sum a_n\) der Beziehung (1b) genügt, so ist \(\sum na_n\) \((C,p)\)-summierbar zum Werte \(-\lambda\); wenn \(1 = \varrho\leqq p\) ist und \(\sum a_n\) der Beziehung (1a) genügt, so ist \(\sum na_n\) \((C,p)\)-beschränkt. Wenn \(p\) eine natürliche Zahl ist und \(\sum a_n\) der Beziehung (1b) genügt, so ist \(\sum n^{\varrho-\delta}a_n\) (\(C,p-\delta\))-summierbar; wenn \(p\) eine natürliche Zahl ist und \(\sum a_n\) der Beziehung (1a) genügt, so ist \(\sum n^{\varrho-\delta}a_n\) \((C, p - \delta)\)-beschränkt und \((C,p - \delta + \varepsilon)\)-summierbar für jedes \(\varepsilon > 0\); die jeweils entsprechenden \(C\)-Summen werden angegeben und \(0<\delta<\varrho\leqq1\leqq p\) gedacht. Wenn p eine natürliche Zahl und \(0 < \varrho < 1\leqq p\) ist und wenn \(\sum a_n\) der Beziehung (1b) mit \(\lambda= 0\) genügt, so ist \(\sum n^\varrho a_n\) entweder \((C, p)\)-summierbar oder aber durch kein Cesàrosches Verfahren summierbar; ein entsprechender Satz gilt für die \((C, p)\)-Beschränktheit unter der Voraussetzung (1a). Weiter zeigt der Verf., daß sich aus der \((C, p)\)-Beschränktheit bzw. aus der \((C,p)\)-Summierbarkeit von \(\sum n^\varrho a_n\) bei natürlichem \(p\) und \(0 < \varrho\leqq 1\) auf die Beziehungen (1a) bzw. (1b) mit angegebenem s und für die Sonderfälle \(\varrho < 1\) und \(\varrho = 1\) etwas verschiedenem \(\lambda\) schließen läßt. Den Beschluß bildet ein Umkehrsatz: Wenn \(\sum a_n\) der Beziehung (1b) mit natürlichem \(p\) und \(0 < \varrho < p\) sowie \(0 < \varrho\leqq1\) genügt und wenn \[ a_n = O\bigg(n^{\tfrac{\varrho-p}{p}}\bigg) \] ist, so konvergiert \(\sum a_n\).