Sur une fonction semicontinue. (Q2596000)

Eine Funktion \(f(x)\) der reellen Variablen \(x\) habe die Eigenschaft \(P\), wenn die Menge der reellen Zahlen in abzählbar viele Teilmengen zerlegt werden kann, auf deren jeder \(f(x)\) stetig ist. Mit Verwendung der Kontinuumhypothese hat Verf. (Fundam. Math., Warszawa, 28 (1937), 1-6; JFM 63.0180.*) die Existenz einer oberhalb stetigen Funktion nachgewiesen, welche auf jeder unabzählbaren Teilmenge einer bestimmten Menge unstetig ist; \textit{S. Braun} hat bemerkt, daß sich daraus die Existenz einer Funktion \(f(x)\) ergibt, die oberhalb stetig ist und nicht die Eigenschaft \(P\) hat. Hier wird nun die Existenz einer solchen Funktion \(f(x)\) ohne Anwendung der Kontinuumhypothese gezeigt, und zwar mit Hilfe einer nach einem Verfahren von \textit{Lusin} (Fundam. Math., Warszawa, 21 (1933), 114-126 (JFM 59.0887.*), insbesondere S. 119) konstruierten Funktion \(Z(y)\), welche die Menge der reellen Zahlen \(y\) mit \(0<y\leqq 1\) auf eine Menge \(T\) von reellen Zahlen \(x\) eineindeutig abbildet, wobei \(T\) ein \(F_{\sigma \delta }\), aber kein \(G_{\delta \sigma }\) ist. Die auf der Menge \(T\) als die zu \(Z(y)\) inverse definierte Funktion \(y = f(x)\) ist nach entsprechender Fortsetzung der Definition eine oberhalb stetige Funktion, die nicht die Eigenschaft \(P\) hat.