Un théorème concernant la convergence des fonctions sur les ensembles dénombrables. (Q2596008)

Auf der abzählbaren Menge \(E\) sei eine Doppelfolge \(\{f_{m, n}(x)\}\) von reellen Funktionen erklärt derart, daß \(\displaystyle \lim_{n\to\infty }\bigl(\lim_{m\to\infty }f_{m, n}(x)\bigr)=g(x)\) für \(x\in E\) existiert. Dann gibt es zwei Indizesfolgen \(\{\mu _k\}\), \(\{\nu _k\}\), so daß \(\displaystyle \lim_{k\to\infty }f_{\mu _k, \nu _k}(x)=g(x)\) für \(x\in E\) gilt. Dieser Satz gilt nicht mehr, wenn \(E\) Kontinuumsmächtigkeit hat, wie die Existenz Bairescher Funktionen der Klasse 2 lehrt.