Sur une fonction réelle de Minkowski. (Q2596010)

Sei \(\alpha \) ein Parameter, \(0<\alpha <1\). Dann wird eine Funktion \(\chi(x, \alpha )\) zunächst für alle rationalen \(x\) in folgender Weise definiert, wobei das System der rationalen Zahlen durch die uneigentliche Zahl \(\dfrac{1}{0}\) ergänzt ist \(\biggl(\)nicht \(\dfrac{-1}{0}\biggr)\); Ist \(\dfrac{p}{q}\) irgendeine rationale Zahl, \(p\) und \(q\) teilerfremd, \(q > 0\), so gibt es eindeutig zwei ganze Zahlen \(p_1\), \(q_1\) für die \[ qp_1-pq_1=1, \;\;0\leqq q_1<q \] ist; dabei wird für \(q_1>0\) stets \(p_1= 1\). Dann wird rekurrent definiert: \[ \chi\biggl(\frac{p}{q}, \alpha \biggr)=\alpha \chi\biggl(\frac{p-p_1}{q-q_1}, \alpha \biggr)+(1-\alpha )\,\chi\,\biggl(\frac{p_1}{q_1}, \alpha \biggr), \] wodurch \(\chi(x, \alpha )\) für alle rationalen \(x\) zurückgeführt wird auf die beiden Werte \(\chi\,\biggl(\dfrac{0}{1}, \alpha \biggr)\) und \(\chi\,\biggl(\dfrac{1}{0}, \alpha \biggr)\), die willkürlich bleiben; Verf. wählt speziell \[ \chi\,\biggl(\frac{0}{1}, \alpha \biggr)=1,\;\;\;\chi\,\biggl(\frac{1}{0}, \alpha \biggr)=0, \] wodurch insbesondere \(\chi(x, \alpha )=\alpha ^x\) für jedes \textit{ganzzahlige} \(x\) wird. Die Funktion \(\chi(x, \alpha )\) ist dann mit wachsendem \(x\) monoton abnehmend und kann nachträglich auch für irrationale \(x\) durch Forderung der Stetigkeit eindeutig definiert werden. Die Minkowskische Funktion \(?(x)\) ist speziell \[ ?(x) = 2-2\chi (x, \tfrac{1}{2}). \] Entwickelt man \(x\) in einen regelmäßigen Kettenbruch \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill x=a_0+\frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_1}+ \frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_2}+\cdots, \hfill} \] so läßt \(\chi(x, \alpha )\) die folgende Darstellung zu: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill\begin{aligned} &\chi(x, \alpha )=\textstyle \sum\limits_{n\geqq 0}(-1)^n\alpha ^{\sigma _{ n}}(1-\alpha )^{\tau _{ n}},\\ &{\begin{alignedat}{2} &\sigma _{2\nu } &&=\sigma _{2\nu +1}=a_0+a_2+\dots +a_{2\nu },\\ &\tau _{2\nu -1} &&=\tau _{2\nu }=a_1+a_3+\dots +a_{2\nu -1},\;\;\;\tau _0=0.\end{alignedat}} \end{aligned}\hfill} \] Weiterhin folgen lange Ausführungen über die Verwandlung eines regelmäßigen Kettenbruches in einen solchen, bei dem die Teilnenner teilweise gleich 0 sind, auf Grund der trivialen Formel \[ \nomultlinegap \begin{multlined} \frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_1}+\dots +\frac{\hfill 1\hfill|}{|\,a_{n-2}}+\frac{\hfill1\hfill|}{|\,0}+ \frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_n}+ \frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_{n+1}}+\dots \\ =\frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_1}+\dots +\frac{\hfill1\hfill|}{|\,a_{n-3}}+ \frac{\hfill 1\hfill |}{|\,a_{n-2}+a_n}+\frac{\hfill 1\hfill|}{|\,a_{n+1}}+\cdots .\end{multlined} \] Es zeigt sich, daß die Darstellung (2) auch noch gilt, wenn unter den \(a_{n}\) in (1) solche Nullen vorkommen. Diese Untersuchungen werden dann benutzt, um Funktionalgleichungen der Gestalt \[ \begin{aligned} &\chi\biggl(\frac{px+p'}{qx+q'}, \alpha \biggr)=A\chi(x, \alpha )+B\;\;\text{für}\;\;pq'-qp'=1,\\ &\chi\biggl(\frac{px+p'}{qx+q'}, \alpha \biggr)=C\chi(x, 1-\alpha )+D\;\;\text{für}\;\;pq'-qp'=-1\end{aligned} \] nachzuweisen, wobei die \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) allerdings noch von \(x\) abhängen, aber so, daß die \(x\)-Achse in unendlich viele Intervalle zerfällt und die \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) innerhalb eines Intervalls konstant bleiben.