Algebraische Fassung des Maßproblems. (Q2596013)

Unter dem Maßproblem versteht man bekanntlich die Aufgabe, jeder Menge \(\alpha \) eines gewissen Systems \(\mathfrak S\) von Punktmengen eine nichtnegative Zahl \(f(\alpha )\), ihr Maß, eindeutig so zuzuordnen, daß eine gewisse Eichmenge \(\varepsilon \) das Maß Eins erhält, je zwei kongruenten Punktmengen dasselbe Maß zugeordnet wird und das Maß eine (im engeren Sinne) additive Mengenfunktion ist, d. h. für je zwei elementefremde Mengen \(\alpha \), \(\beta \) aus \(\mathfrak S\) der Beziehung \(f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )\) genügt. Auf Additivität im weiteren Sinne, d. h. für die Vereinigungsmenge von je abzählbar vielen paarweise punktfremden Mengen, soll hier nicht eingegangen werden. Verf. will nun in der vorliegenden Arbeit für das Maßproblem eine möglichst allgemeine und abstrakte Darstellung geben. Er nimmt ein System \(\mathfrak S\) von Dingen, die mit \(\alpha \), \(\beta \),\dots, \(\zeta \), \(\eta \),\dots bezeichnet werden, eine in \(\mathfrak S\) erklärte Addition, die als eindeutig ausführbar, assoziativ und kommutativ postuliert wird, und ein ausgezeichnetes Element \(\varepsilon \in \mathfrak S\), das Eichelement, als gegeben an. Es wird nun gefragt, ob es einen Homomorphismus gibt, der das System \(\mathfrak S\) (oder ein Teilsystem \(\mathfrak T\) von \(\mathfrak S\)) auf eine Menge von nichtnegativen Zahlen, jede Summe \(\alpha +\beta \) auf die Summe der zugeordneten Zahlen und \(\varepsilon \) auf die Eins (oder allgemeiner auf eine bestimmte endliche positive Zahl) abbildet. Die Antwort auf diese Frage erteilt der Fundamentalsatz der Arbeit (in der Bezeichnung des Verf. der Satz 1. 58). Für die Möglichkeit dieses Homomorphismus ist eine gewisse Beschaffenheit des Eichelements \(\varepsilon \) notwendig und hinreichend, die Verf. als Normalität bezeichnet und folgendermaßen definiert: Zunächst können auf Grund der postulierten Eigenschaften der Addition die Beziehung \(\alpha \leqq \beta \) (es ist \(\alpha \leqq \beta \), wenn entweder \(\alpha =\beta \) ist oder es ein \(\zeta \in \mathfrak S\) gibt, so daß \(\alpha +\zeta =\beta \) ist) und für jede natürliche Zahl \(k\) die Operation \(k\cdot \alpha \) (es ist \(k\cdot \alpha =\alpha \) für \(k = 1\) und \(k\cdot \alpha =(k-1)\cdot \alpha +\alpha \) für jedes \(k > 1\)) erklärt werden; ein Element \(\alpha \) heißt nun (Definition 1. 9) normal, wenn es keine natürliche Zahl \(k\) mit \((k + 1)\cdot \alpha \leqq k\cdot \alpha \) gibt. Das ist der Inhalt von \S\ 1 der vorliegenden Arbeit. Die beiden weiteren Paragraphen sind weniger ausführlich als \S\ 1 gehalten. In \S\ 2 wird gefragt, inwieweit die Voraussetzungen über das System \(\mathfrak S\) und die in \(\mathfrak S\) erklärte Addition zur Begründung der Ergebnisse von \S\ 1 notwendig sind, in \S\ 3 gezeigt, wie diese Ergebnisse auf das geometrische Maßproblem angewendet werden können.