Sur la variation du maximum d'une fonction. (Q2596059)

\(f(a; \lambda )\) sei als Funktion von \(a\) auf der kompakten, abgeschlossenen Menge \(E\) oberhalb stetig und hänge noch von dem reellen Parameter \(\lambda \) ab; es sei \[ \max_{a\in E}f(a; \lambda )=\varphi (\lambda ). \] An der Stelle \(\lambda =\lambda _0\) sei \(f(a; \lambda )\) differenzierbar: \[ f(a; \lambda _0+h)-f(a; \lambda _0)=g(a)\,h+o(h), \] und zwar mit \(\dfrac{o(h)}{h}\to 0\) für \(h\to 0\) gleichmäßig für alle \(a\). Es gilt: Ist \(g(a)\) stetig in \(E\), so besitzt \(\varphi (\lambda )\) in \(\lambda =\lambda _0\) eine linke und rechte Ableitung, welche gleich ist dem Minimum bzw. Maximum von \(g(a)\) auf der Urbildmenge \([f(a; \lambda _0)=\varphi (\lambda _0)]\). Dieser Satz enthält eine Formel von \textit{de Misès} (C. R. Acad. Sci., Paris, 205 (1937), 1353-1355; JFM 63.0649.*) als Spezialfall.