Über die Absolutabweichung einer differentiierbaren Funktion von ihrem Integralmittelwert. (Q2596072)

Ist \(h \,(x)\) in \(a < x < b\) differenzierbar und dort \(|\, h'\,(x) \,| \leqq m\), so gilt \[ \left|\, h \,(x_0)-\frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} h \,(x) \,dx \, \right| \leqq \left( \frac{1}{4} + \frac{\left( x_0-\dfrac{a+b}{2} \right)^2} {(b-a)^2} \right) \,(b-a) \,m \] für \(a< x_0 < b\), und das Gleichheitszeichen steht nur für \(h \,(x)=h \,(x_0) \pm m \, |\, x-x_0 \,|\). Analoge Ungleichungen lassen sich auch für endliche Summen aufstellen. (IV 3 B.)