Sur les fonctions indépendantes. IV. (Intervalle infini.) (Q2596080)

Verf. dehnen ihre Untersuchungen (s. Studia math., Lwów, 6 (1936); 46-58, 59-66, 89-97; F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 273-275) auf das unendliche Intervall aus. Es handelt sich also um für alle reellen Werte von \(t\) erklärte in jedem endlichen Intervall \(L\)-integrierbare Funktionen \(f \,(x)\). Unter dem Relativmaß \(|\, E \,|_R\) einer Menge \(E\) wird \[ |\, E \,|_R=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \, |\, E \times (-T, \,T) \,| \] verstanden. Die (endlich oder abzählbar unendlich vielen) Funktionen \(\{ f_{\varkappa} \,(t) \}\) heißen im Intervall \(\langle -\infty, \, \infty \rangle\) ``unabhängige Funktionen'', wenn für jede natürliche Zahl \(n\) gilt \[ |\, \underset{t} E \{ f_1 \in I_1, \; f_2 \in I_2, \ldots \!, f_n \in I_n \} \,|_R = \prod\limits_{\varkappa=1}^{n} |\, \underset{t} E \{ f_{\varkappa} \in I_{\varkappa} \} \,|_R \] für alle offenen und abgeschlossenen, endlichen und unendlichen Intervalle \(I_{\varkappa}\); die Existenz der Relativmaße wird gefordert. (Wegen der Bezeichnungen vgl. die oben angeführten Besprechungen.) Sind die unabhängigen Funktionen beschränkt, so existieren die Mittelwerte \(M_B \, \{ f_{\varkappa} \}=\lim\limits_{T \to \infty} \dfrac{1}{2T} \, \int\limits_{-T}^{T} f \,(t) \, dt\), und es gilt: \[ M_B \, \{ f_1 \, f_2 \cdots f_p \}= M_B \, \{ f_1 \} \, M_B \, \{ f_2 \} \cdots M_B \, \{ f_p \}. \] Der Satz ist auch noch für unendlich viele Funktionen richtig, falls \(\prod\limits_{\varkappa=1}^{\infty} f_{\varkappa} \,(t)\) gleichmäßig konvergiert. Das Relativmaß \(h \,(x)\) der Menge \(E \, \{ f \,(t)<x \}\) heißt ``Distribuante'' der Funktion \(f \,(t)\); sie existiert und ist nicht abnehmend, wenn \(f \,(t)\) relativ meßbar ist, d. h. wenn \[ E \, \{ f \,(t)<a \}, \;\; E \, \{ f \,(t)>a \} \] für alle \(a\) ein Relativmaß besitzen. Für zwei relativ meßbare, beschränkte, mit absolut stetigen Distribuanten versehene Funktionen \(u \,(t)\), \(v \,(t)\) ist notwendig und hinreichend dafür, daß sie unabhängig sind: \[ M_B \, \{ u^m \, v^n \}=M_B \, \{ u^m \} \, M_B \, \{ v^n \} \] für alle natürlichen Zahlen \(m\) und \(n\). (Analog für mehrere Funktionen.) Mit Hilfe dieses Kriteriums kann gezeigt werden, daß bei linear unabhängigen reellen Zahlen \(\lambda_1, \, \lambda_2, \, \lambda_3, \ldots\) die Funktionen \(\cos \, \lambda_{\varkappa} \,t\) ein Beispiel für ein im Intervall \(\langle -\infty, \, \infty \rangle\) unabhängiges Funktionensystem bilden. Ferner ist \[ \lim_{n \to \infty} \left|\, \underset{t} E \left( \alpha < \frac{\cos \, \lambda_1 \,t + \cos \, \lambda_2 \,t + \cdots + \cos \, \lambda_n \,t}{\sqrt{n}} < \beta \right) \, \right|_R = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{\alpha}^{\beta} e^{-\xi^2} \, d \xi. \] Zwischen der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion und den unabhängigen Funktionen besteht folgender Zusammenhang: Sei \(\sigma_0 > 1\); \(\{ \, p_{\varkappa} \, \}\) durchlaufe die Primzahlen. Man setze \[ r_{\varkappa}=e^{-\sigma_0 \, \log \, p_{\varkappa}}; \quad \lambda_{\varkappa}=\log \, p_{\varkappa}. \] Dann ist: \[ |\, \zeta \,(\sigma_0 + i \tau) \,| = \prod\limits_{\varkappa=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1-2r_{\varkappa} \, \cos \, \lambda_{\varkappa} \, \tau + r_{\varkappa}^2}}. \] Das Produkt konvergiert gleichmäßig in \(\tau\), und die Faktoren sind in \(\langle -\infty, \, \infty \rangle\) unabhängige Funktionen von \(\tau\). Weiter gilt für jedes reelle \(l\) \[ M_B \, \{ |\, \zeta \,(\sigma_0+i \tau) \,|^{2l} \, \} = \zeta^{2l-1} \,(2 \sigma_0) \, M_B \, \left\{ \left| \frac{1}{\zeta \,(\sigma_0+i \tau)} \right|^{2l-2} \right\} \qquad (\sigma_0 > 1). \] (IV 4 D, 16.)