Sur les fonctions \(2^n \,t-[2^n \,t]-\frac{1}{2}\). (Q2596083)

Im Anschluß an seine Arbeit in Studia Math. 6 (1936), 46-58 und die zusammen mit \textit{Steinhaus} ebenda, S. 59-66 veröffentlichte (vgl. F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 273-274) beweist Verf. auf Grund der dort gegebenen Sätze und Methoden: Es sei \[ \mu_n \,(t)=2^n \,t-[2^n \,t]-\tfrac{1}{2}; \] \(|\, \underset{t} E \,(\alpha<F \,(t) < \beta) \,|\) bezeichne das Maß der \(t\)-Menge, für die \(\alpha < F \,(t) < \beta\) ist. Dann ist \[ \lim_{n \to \infty} \, \left| \, \underset{t} E \left( \alpha < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \sum_{\varkappa=1}^{n} \mu_{\varkappa} \,(t) < \beta \right) \,\right| = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{\alpha}^{\beta} e^{-y^2} \,dy. \] Ferner ist die Reihe \(\sum\limits_{\varkappa=1}^{\infty} c_{\varkappa} \, \mu_{\varkappa} \,(t)\) fast überall konvergent bzw. divergent, je nachdem \(\sum\limits_{\varkappa=1}^{\infty} c_{\varkappa}^2\) konvergiert oder nicht.