Proof of a gap theorem. (Q2596098)

\textit{N. Wiener} (Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. 2 (1934), 367-372; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 247) hat mit Hilfe der Fourier-Transformation bewiesen: Die trigonometrische Reihe \[ \tfrac{1}{2} a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \, \cos \, \lambda_k x + b_k \, \sin \, \lambda_k x) \tag{1} \] \[ (0=\lambda_0 < \lambda_1 < \cdots, \; \lambda_n-\lambda_{n-1} \geqq \varDelta > 0; \; a_k, \, b_k \; \text{ reell}) \] sei in einem Intervall \((a, \,b)\) von der Länge \(\delta=b-a\) quadratisch beschränkt, d. h. ihre Teilsummen \[ s_n(x)=\tfrac{1}{2} a_0 + \sum_{k=1}^{n} (a_k \, \cos \, \lambda_k x + b_k \, \sin \, \lambda_k x) \qquad (n=1, \,2, \ldots) \] erfüllen für eine passende Zahl \(M\) die Bedingung \[ \int\limits_{a}^{b} s_n^2(x) \, dx \leqq M^2. \tag{2} \] Ist dann \(\varDelta\) hinreichend groß, \(\varDelta \geqq \varDelta_0 = \varDelta_0(\delta)\), so ist \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k^2 +b_k^2)\) konvergent und \[ \tfrac{1}{2} a_0^2 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 +b_k^2) \leqq A(\delta) \,M^2, \tag{3} \] wo \(A(\delta)\) ein nur von \(\delta\) abhängiger Wert ist. In der vorliegenden Note wird ein neuer, elementarer Beweis dieses Satzes gegeben. Er liefert auch die von \textit{Wiener} angegebene Verallgemeinerung des Satzes, wonach die Behauptung richtig bleibt, wenn an Stelle der quadratischen Beschränktheit der Teilsummen \(s_n(x)\) von (1) nur die ihrer Abelschen Mittel vorausgesetzt wird. \textit{Wiener} hat verschiedene Anwendungen des Satzes gegeben. Als weitere Anwendung wird hier noch bewiesen: Eine ganze Funktion \[ f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^{\lambda_k} \quad \text{mit} \quad \lambda_k - \lambda_{k-1} \to \infty \] ist in jedem Winkelraum \(\alpha \leqq \text{ arc} \, z \leqq \beta\) von derselben Ordnung und demselben Typus. (IV 4 F.)