Über die Partialsummen der Fourierreihe. (Q2596102)

\(f(x)\) sei eine in \(J\): \(0<x<\pi\) positive, von oben konvexe Funktion, \(\sum\limits_{h=1} b_h \sin hx\) ihre Fouriersche Sinusreihe \(\mathfrak S\) Ref. fand (Mh. Math. Phys. 39 (1932), 321-344; F. d. M. \(58_{\text{II}}\), 1134), daß die Abschnitte von \(\mathfrak S\) in \(J\) nicht negativ sind; \textit{Fejér} zeigte (Z. angew. Math. Mech. 18 (1933), 80-88; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 298), daß die \((C, k)\)-Mittel von \(\mathfrak S\) den Wert \(f(x)\) nicht überschreiten (\(k = 1, 2,\dots\)). Verf. beweist, daß den Abschnitten von \(\mathfrak S\) die obere Schranke \(2f(x)\) gesetzt ist. Diese ist scharf, wie die Funktion \(\frac 12 (\pi - x)\) lehrt. Mit Hilfe dieses Sonderfalles beweist Verf. seinen Satz zunächst für gewisse Dachfunktionen; daraus folgert er ihn nach \textit{Fejér}s Schlußweise weiter für ein beliebiges konvexes Vieleck, schließlich für eine beliebige Funktion der Art \(f (x)\).