On Fourier series satisfying mixed conditions. (Q2596110)

Es handelt sich um die Bestimmung von Koeffizienten \(\alpha_n\) (\(n = 0, 1, 2,\dots \)), für die gleichzeitig \[ \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \cos n\theta = \cos m \theta \;(|\theta |< \tfrac 12 \pi), \quad \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \sin n\theta =- \sin m \theta \;(\tfrac 12 \pi < |\theta |< \pi) \tag{1} \] (\(m > 0\) ganz) gilt. \textit{W. M. Shepherd} (Proc. London math. Soc. (2) 43 (1937), 366-375; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 220) hat eine Lösung \(\alpha_n = A_n\) angegeben. Hieraus ergibt sich durch gliedweise Differentiation von (1) sofort als formale zweite Lösung \(\alpha_n = b_n\) mit \[ b_n = (-1)^{m+n+1} \frac nm A_n. \] Es wird in der vorliegenden Note gezeigt, daß dies tatsächlich eine zweite Lösung ist und daß sich die allgemeinste Lösung durch lineare Kombination der beiden Lösungen \(A_n\) und \(b_n\) ergibt; genauer: Zu jedem gegebenen Wert \(\alpha_0\) gibt es genau ein Paar konjugierter Fourierreihen \(\sum\limits_{n=0}^\infty \alpha_n \cos n\theta\), \(\sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n \sin n\theta\), das (1) erfüllt, und zwar ist es gegeben durch \[ \alpha_n = \frac { \alpha_0 }{A_0} A_n + \left( 1 - \frac { \alpha_0 }{A_0} \right)b_n \qquad (n \geqq 1). \] Nebenbei ergibt sich für die Lösung \( \alpha_n = A_n\) eine neue Herleitung, die zugleich die Beziehungen \[ \sum\limits_{n=0}^\infty A_n \cos n\theta = \cos m \theta - \varPhi (\theta) \qquad \text{in } \quad \tfrac 12 \pi < | \theta | < \pi, \] \[ \sum\limits_{n=1}^\infty A_n \sin n\theta = -\sin m \theta - \varPhi (\theta) \quad \text{in } \quad | \theta | < \tfrac 12 \pi \] erkennen läßt, wobei \[ \varPhi (\theta) = 2 \sqrt { |2 \cos \theta |} \,\sum_{r=0}^{[\frac 12 (m+1)] - 1} (-1)^r [r] \sin (2r - m + \tfrac 12 ) \theta . \]