Sur la convergence des séries trigonométriques. I, II. (Q2596112)

\textbf{I.} Eine Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty u_n\) mit den Teilsummen \(s_n = \sum\limits_{\nu=0}^n u_\nu\) wird ``im Mittel einfach'' bzw. ``im Mittel absolut konvergent'' zur Summe \(s\) genannt, wenn \( \sum\limits_{\nu=0}^n (s_\nu - s) = o(n)\) bzw. \( \sum\limits_{\nu=0}^n |s_\nu - s| = o(n)\). Die Note enthält verschiedene Resultate über trigonometrische Reihen, die im Mittel einfach bzw. absolut konvergent sind, unter anderem: 1) Ist die Reihe \[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty A_n(\theta) \quad \text{ mit } \quad A_n(\theta) = a_n\,\cos\,n\theta + b_n\,\sin\,n\theta \tag{*} \] im Mittel absolut konvergent zur Summe \(f(\theta)\), so ist sie auch im Riemannschen Sinne summierbar zur Summe \(f(\theta)\), d. h. \[ F(\theta) = \frac{a_0}{4} \theta^2 + C\theta \sum_{n=1}^\infty \frac{A_n(\theta)}{n^2} \] hat die zweite verallgemeinerte Ableitung \(f(\theta)\). Die Behauptung gilt nicht mehr voll, wenn (*) nur im Mittel einfach gegen \(f(\theta)\) konvergiert. 2) Ob die Fourierreihe einer integrablen Funktion \(f (t)\) an einer gegebenen Stelle \(\theta\) im Mittel absolut konvergiert, hängt nur von den Werten der Funktion in einer Umgebung der Stelle \(\theta\) ab. Gehört \(f(t)\) in einer solchen Umgebung zur Klasse \(L^2\) und gilt \[ \int_0^u \left(f(\theta + t) - f(\theta)\right)^2\, dt = o(u), \] so konvergiert die Fourierreihe von \(f(t)\) an der Stelle \(\theta\) im Mittel absolut gegen \(f(\theta)\). Dies gilt insbesondere, wenn \(f(t)\) an der Stelle \(\theta\) stetig ist. Für diesen bekannten Satz wird ein neuer, einfacher Zugang angegeben. \textbf{II.} Anknüpfend an die vorstehend besprochene Note beschäftigt sich Verf. im wesentlichen mit im Mittel absolut konvergenten Fourierreihen: 1) Es sei \(f(\theta)\) eine Funktion der Klasse \(L^2\) und \(s_n(\theta)\) die \(n\)-te Teilsumme ihrer Fourierreihe. Bei vorgegebenem \(\alpha > 0\) werde für beliebiges \(\theta\) mit \(n_r\) die Folge derjenigen Indices bezeichnet, für die \[ |s_{n_r}(\theta) - f(\theta)| > \alpha \] gilt. Man weiß dann nach \textit{A. Zygmund} (Trigonometrical Series (1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 263), insbesondere S. 264), daß -- wie klein auch \(\alpha\) gewählt ist -- für fast alle \(\theta\) die Reihe \(\sum \dfrac{1}{n_r}\) konvergiert. Verf. fragt nun, ob für ein bestimmtes \(\theta\) aus der im Mittel absoluten Konvergenz der Fourierreihe von \(f\) an der Stelle \(\theta\) auf die Konvergenz von \(\sum \dfrac{1}{n_r}\) bei jedem \(\alpha > 0\) geschlossen werden kann. Das trifft nicht zu, selbst dann nicht, wenn \(f\) stetig ist. 2) Für beliebige Reihen gilt: Ist \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\) im Mittel absolut konvergent und \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n^2 < \infty\), so gilt für die Teilsummen \(s_n = \sum\limits_{\nu=0}^n c_\nu\) die Abschätzung \[ s_n = o(n^{\frac 13}), \] und diese Abschätzung laßt sich nicht verschärfen. \ (IV 2.)