Über die monotone Konvergenz der Cesàro-Mittel bei Fourier- und Potenzreihen. (Q2596113)

Den bekannten, die mit ganzen \(n, k \geqq 0\) gebildeten Cesàroschen Mittel \(S^{(k)}_n\) einer Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty \mu_n\) betreffenden Sätzen fügt Verf. folgende neue Ergebnisse hinzu. Bei der einer Funktion \(f (x)\) zugehörigen Fourierschen Reihe (\(\mu_n = a_n \cos nx + b_n \sin nx\)) bezeichne man \(S^{(k)}_n\) mit \(S^{(k)}_n (x)\). \(m\) sei untere, \(M\) obere Grenze von \(f (x)\) in \((0,2\pi)\). Ebenda sei \(m_n^{(k)} = \min \, S_n^{(k)} (x)\), \(M_n^{(k)} = \max \, S_n^{(k)} (x)\); dann ist (Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Fejér}) \[ m \leqq m_n^{(k)} \leqq m_n^{(k+1)} \leqq M_n^{(k+1)} \leqq M_n^{(k)} \leqq M. \] Dieser Satz überträgt sich durch eine bekannte Schlußweise auf Potenzreihen. -- Von der Klasse \(\mathfrak K\) der Fourierschen Sinusreihen nichtnegativer, von oben konvexer Funktionen zeigt Verf., daß \[ S_{n+1}^{(k)} (x) \geqq S_n^{(k)} (x) \qquad (n \geqq 0, \;k \geqq 2, \;0< x < \pi) \] ist. Zu Feststellungen über die Unterklasse \(\mathfrak K_p\) von \(\mathfrak K\) mit \(b_{2k} = 0\) beweist er den wichtigen Hilfssatz: Notwendig und hinreichend für \[ F (x, y) = \sum_{k=1}^n \lambda_k \sin kx \sin ky \geqq 0 \qquad (0 < x < \pi, \;0 < y <\pi ) \] ist \[ \varphi (t) = \sum_{k=1}^n k\lambda_k \sin kt \geqq 0 \qquad (0 < t < \pi ). \] Mit seiner Hilfe verschärft er einen vom Ref. in \(\mathfrak K\) aufgestellten Satz für \(\mathfrak K_p\) zu \[ S_n^{(0)} \geqq \tfrac 23 b_1 \sin x \qquad (n \geqq 1, \;0 <x < \pi ). \] Weiter untersucht er die in \(| z | < 1\) konvergenten Potenzreihen der Klasse \(\mathfrak p\) \[ \mathfrak P (z) = z + a_2z^2 + \cdots \] auf ihre nach \textit{Fejér}scher Erklärung einsinnige Konvergenz (Prace mat.-fiz. 44 (1936), 15-25; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 325). Er gibt in \(\mathfrak p\) eine Reihe mit nichtnegativen Vorzahlen an, deren Abschnitte in keinem noch so kleinen Kreise \(| z | < r\) einsinnig konvergieren; dagegen ist, wie er zeigt, jeder \(\mathfrak P(z)\) ein Kreis \(| z | = \varrho\) mit einem nur von max \(\root n \of{|a_n|}\) abhängigen Halbmesser \(\varrho\) zugeordnet, in dem die zu \(\mathfrak P(z)\) gehörigen \(S_n^{(1)}(z)\) einsinnig konvergieren. -Für Unterklassen von \(\mathfrak p\) schärfere Ergebnisse. \ (IV 4 C.)