Notes on Fourier series. V: Absolute Riesz' summability. VI: A theorem on the absolute convergence. VII: A remark on absolutely summable factors. (Q2596115)

In \textbf{V} beschäftigen sich die Verf. mit der absoluten logarithmischen Riesz-Summabilität: Die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) ist \(| R\), log\(|\)-summabel, wenn \(\sum\limits_{n=2}^\infty | R_n - R_{n+1} |\) konvergiert, wobei \(R_n = \dfrac 1{\log n} \sum\limits_{\nu=1}^n\dfrac {s_\nu}\nu\). Alle absolut konvergenten Reihen sind \(| R\), log\(|\)-summabel. Die Fourierreihe einer Funktion \(f(t)\) erweist sich bei \(t = x\) als \(| R\), log\(|\)-summabel, wenn die Dirichletsche Funktion \(\varPhi (t) = \frac 12 \{ f(x + t) 2f (x) + f (x - t)\}\) z. B. eine der Bedingungen \( \varPhi (t) = O \left(\log^{-\varepsilon} \dfrac 1t\right)\) oder \(\int\limits_0^t |\varPhi (t) | \, du = O \left(t\cdot \log^{-\varepsilon} \dfrac 1t\right)\) erfüllt; die Dini-Lipschitzsche Bedingung, die für die Konvergenz nicht hinreicht, sichert doch die \(| R\), log\(|\)-Summabilität. Weiter werden, so wie \((\log\, n)^{-\frac 1p}\) konvergenzerzeugende Faktoren sind für die Fourierreihen von Funktionen aus \(L^p\) \((1 \leqq p \leqq 2)\), hier \(| R, \log |\)-Summabilität erzeugende Faktoren angegeben: Log\(^{-\frac 12}(n)\) für Funktionen aus \(L^2\), Log\(^{-1}(n)\) für Funktionen aus \(L^p\) \((1 < p < 2)\), wobei zur Abkürzung geschrieben ist \[ \log_2 n \, \log_3 n \dots \log_k n \, \log_{k+1}^{1+\varepsilon} n = \text{ Log }(n) \qquad (\varepsilon > 0). \] Zuletzt werden die Konvergenzbedingungen für die Reihen \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{|s_n - f(x)|^p}{n} \] (\(s_n\) die \(n\)-te Teilsumme der Fourierreihe, \(p > 1\)), \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{|s_n - f(x)|}{n \cdot \log n} \] untersucht. \textbf{VI} enthält Sätze über die absolute Konvergenz von Fourierreihen; der letzte Satz umfaßt Sätze von \textit{Zygmund} (J. London math. Soc. 3 (1928), 194-196; F. d. M. 54, 303 (JFM 54.0303.*)) und \textit{O. Szász} (Fourier series and mean moduli of continuity, Trans. Amer. math. Soc. 42 (1937), 366-395; F. d. M. \(63_{\text{II}}\)). Zu seiner Formulierung wird die folgende Definition benutzt: Wenn \(f(x) \in L^p\), \(p > 0\) und wenn für jede Einteilung \[ 0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n = 2\pi \] die Ungleichung \[ \int_0^{2\pi}\left\{\sum_{k=0}^{n-r} \left | \sum_{r=0}^m(-1)^r \binom mr f(x+t_{k+r})\right|^p\right\}\,dx < K \] gilt, so gehört \(f(x)\) zur Klasse \(W_p^{(m)}\). Der Satz lautet dann: Es sei \(1 \leqq p \leqq 2\), \(\lambda \geqq 0\), \(\mu \geqq 0\), \(\lambda + \mu = p\), \(k > 0\), \(1 \leqq \alpha\), \(\dfrac 1\alpha + \dfrac 1\beta = 1\). Wenn die Funktion \(f(x) \sim \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{inx}\) zur Klasse \(W_{\lambda\beta}^{(m)}\) gehört und \[ \sum_{n=1}^\infty n^{-k\left(1 - \tfrac{1}{\alpha p}\right) }\cdot \left\{ \omega_{\mu\alpha}^{(m)} \left(\frac{\pi}{n}\right)\right\}^{\tfrac{\mu k}{p}} < \infty \] ist, dann konvergiert \(\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^k\). Hierbei sind \(\omega_p^{(m)}(\delta)\) die in dem erwähnten Satz von \textit{Szász} vorkommenden mittleren Stetigkeitsmaße. \textbf{VII} verbessert für solche Funktionen, mit welchen zugleich auch ihre Konjugierte integrabel ist, die in III angegebenen absolute Summabilität erzeugenden Faktoren.