Sur quelques points de la théorie de la meilleure approximation des fonctions périodiques. (Q2596150)

Diese wichtige Note enthält folgendes Ergebnis: Sei \(M\) die Menge der Funktionen \(f(\varphi)\) der Periode \(2\pi\), die \(p\) Ableitungen besitzen und für die \[ |f^{(p)} + A_1 f^{(p-1)} + \cdots + A_p f| \leqq 1 \] ist, und sei \(E_{n-1}(f)\) die beste Approximation der Funktion \(f\) durch trigonometrische Polynome höchstens vom Grad \(n - 1\). Für hinreichend großes \(n\) gilt \[ \sup_{f\in M} E_{n-1}(f) = \frac 2\pi \max_{\varphi} \left| \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{(2\varkappa+1)n i \varphi}} {(2\varkappa + 1)P\left((2\varkappa + 1) ni\right)}\right|, \] wo \(P(x) = x^p + A_1x^{p-1}+ \cdots + A_p\) ist. Ein analoges Ergebnis besteht auch noch für die zu den Funktionen \(f (x) \in M\) im trigonometrischen Sinne konjugierten Funktionen.