On interpolation. II: On the distribution of the fundamental points of Lagrange and Hermite interpolation. (Q2596158)

Gegeben sei die Matrix \[ \begin{matrix} \l & \;\l & \;\l & \;\l \\ x_1^{(1)} & & & \\ x_1^{(2)}, & x_2^{(2)}, & & \\ \hdotsfor 4 \\ x_1^{(n)}, & x_2^{(n)}, & \dots, & x_n^{(n)}, \\ \hdotsfor 4 \end{matrix} \] mit \(-1 \leqq x_n^{(n)} \leqq x_{n-1}^{n)} < \cdots < x_1^{(n)} \leqq 1\). Man setze \[ x_\nu^{(n)} = \cos\,\theta_\nu^{(n)}, \;\omega_n(x) = \prod_{\nu=1}^n (x - x_\nu^{(n)}), \] \[ l_\nu^{(n)}(x) = \frac{\omega_n(x)}{\omega_n^\prime(x_\nu)(x - x_\nu)}. \] Die Verf. beschäftigen sich mit dem folgenden Problem: Es seien gewisse Eigenschaften der Funktionen \(l_\nu^{(n)}(x)\) gegeben; was kann man daraus schließen für die Verteilung der \(\theta_\nu^{(n)}\)? Die Hauptergebnisse sind: (1) Die Voraussetzung \[ |l_\nu^{(n)}(x)| \leqq C_1 \quad (-1 \leqq x \leqq 1; \, n = 1, 2, \dots; \nu = 1, 2, \dots, n) \] (hier und nachstehend bedeuten \(C_1, C_2, \dots, C_7\) positive, endliche, von \(x\), \(n\), \(\nu\) unabhängige Konstanten) zieht nach sich \[ \frac{C_2}{n} \leqq \theta_{\nu+1}^{(n)} \theta_\nu^{(n)} \leqq \frac{C_3}{n}. \] (2) Wenn es eine Lebesguemeßbare Funktion \(s(x)\) gibt mit \(0 < a \leqq s(x) \leqq b < \infty\), für die \[ \int\limits_{-1}^1 s(x) l_\nu^{(n)}(x) \,dx \geqq 0, \] so folgt: \[ \theta_{\nu+1}^{(n)} - \theta_\nu^{(n)} \leqq \frac{C_4}{n}. \] 3) Die Ungleichungen \[ \left|\int\limits_{-1}^1 l_\nu^{(n)}(x) \,dx\right| \leqq C_5 n^{C_6} \] haben zur Folge: \[ \theta_{\nu+1}^{(n)} - \theta_\nu^{(n)} \leqq C_7 \frac{\log\,(n+1)}{n}. \]