Entwicklung einer Funktion nach Lagrangeschen Polynomen und ihren Integralen. (Q2596162)

Die Betrachtung spielt in einem Grundgebiete \(\mathfrak g\) \((a \leqq x \leqq b)\), in dem alle vorkommenden Funktionen stetig sind. \ \(a_\nu\) \((\nu = 1, \dots, n)\) seien \(n\) verschiedene Werte aus \(\mathfrak g\), \(L_\nu(x)\) die Grundpolynome der zugehörigen Lagrangeschen Einschaltung. Verf. beweist die Formel \[ f^{(p)}(x) = \sum L_\nu^{(p)}(x) f(a_\nu) \] \[ + \frac 12 \int\limits_a^b\left\{\frac{(x-u)^{n-1-p} \text{ sgn }(x-u)}{(n-1-p)!} - \sum L_\nu^{(p)}(x) \frac{(a_\nu - u)^{n-1} \text{ sgn } (a_\nu - u)}{(n-1)!}\right\} f^{(n)}(u)\, du. \] Wichtige Sonderfälle: \(p = 0\), \(p = n - 1\). Der erste liefert eine Entwicklung \(\mathfrak k\) von \(f\) nach den \(L_\nu(x)\) und ihren wiederholt gebildeten \(n\)-ten Integralen, denen die Nullstellen \(a_\nu\) vorgeschrieben sind; Vorzahlen sind die \(n\)-ten, \((2n)\)-ten, \dots Ableitungen von \(f\) an den Stellen \(a_\nu\). Der zweite liefert eine Entwicklung \(\mathfrak m\) von \(\dfrac{1}{(n-1)!} f^{(n-1)}\) nach Polynomen der Grade 0, 1, 2, \dots, deren jedes das folgende zur Stammfunktion hat; Vorzahlen sind die \(n\)-füßigen Newtonschen Differenzenquotienten der Werte von \(f\), \(f^\prime\), \(f^{\prime\prime}\), \dots an den Stellen \(a_\nu\). \(\mathfrak k\) gibt für \(n = 1\), \(a_1 = c\) die Taylorsche Reihe an der Stelle \(c\). Setzt man in \(\mathfrak k\) \(c = a\) und \(c = b\) und addiert, so entsteht eine Formel, die, wiederholt angewandt, zur Booleschen Reihe führt. Mit \(n = 2\), \(a_1 = a\), \(a_2 = b\) gibt \(\mathfrak m\) die Euler-Maclaurinsche Reihe, \(\mathfrak k\) eine nach den Eulerschen Polynomen geraden und den Bernoullischen Polynomen ungeraden Zeigers fortschreitende Entwicklung.