Sur une famille de fonctions harmoniques liées à une fonction donnée dans un intervalle. (Q2596167)

Verf. knüpft an eine frühere Untersuchung an (Bull. internat. Acad. Polonaise Sci. Lett., Cl. Sci. math. nat. A 1936, 79-92; F. d. M. \(62_{\text{II}}\)). An Stelle eines abgeschlossenen Bereiches in der Ebene der komplexen Veränderlichen \(z\) tritt ein abgeschlossenes Intervall \(I =\langle a, b\rangle\) auf der reellen Achse. Auf \(I\) sei eine stetige Funktion \(f(x)\) gegeben. Ihr wird ganz entsprechend wie in der zitierten Arbeit eine Folge \(\varPhi_n(z, \lambda)\) zugeordnet; \(\root{ n} \of{\varPhi_n(z, \lambda)}\) konvergiert für jedes komplexe \(z\) und jedes reelle \(\lambda\) gegen eine Funktion \(\varPhi (z, \lambda)\). Es wird ferner eine zweite, ähnlich gebaute Folge \(F_n(z, \lambda)\) aufgestellt, für die ebenfalls gilt \(\root{ n} \of{F_n(z, \lambda)} = \varPhi (z, \lambda)\). \ \(\log\,\varPhi (z, \lambda)\) ist im Außengebiet von \(I\) regulär harmonisch, \(\log\,\varPhi (z, 0)\) ist die Greensche Funktion für dieses Gebiet (Ann. Soc. Polnaise Math. 12 (1934), 57-71; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 356). Für beliebiges \(\lambda\) und beliebiges \(z\) beweist Verf. die Ungleichungen \[ \begin{matrix} \r & \quad \l \\ \strut \varPhi (z, 0) e^{\lambda m} \leqq \varPhi (z, \lambda) \leqq \varPhi (z, 0) e^{\lambda M}, & \lambda \geqq 0, \\ \strut \varPhi (z, 0) e^{\lambda M} \leqq \varPhi (z, \lambda) \leqq \varPhi (z, 0) e^{\lambda m}, & \lambda < 0, \end{matrix} \] wenn \[ m \leqq f(x) \leqq M \;\text{ in } \;I. \] Ferner gewinnt er die Abschätzung \[ \varPhi(x, \lambda) \leqq e^{\lambda f(x)} \qquad (a \leqq x \leqq b). \] In der zweiten Arbeit wird dann gezeigt: Es gilt gleichmäßig in \(I\) \[ \lim_{\lambda \to 0} \frac 1\lambda \log \varPhi (x,\lambda) = f(x), \] ein Ergebnis, das in der ersten Arbeit nur unvollständig herausgekommen war. \ \ (IV13.)