On \(\zeta(s)\) and \(\pi(x)\). (Q2596237)

Verf. gibt bedeutend vereinfachte Beweisanordnungen für Sätze von \textit{I. M. Vinogradov} [Rec. Math., Moscou (2) 1, 8--20 (1936; JFM 62.0178.02)] und Chudakov. Erstens wird auf kaum 8 Seiten bewiesen: \[ \sum _{m=1}^P e^{2\pi if(m)}= O\,\Bigl( nP^{1-\frac{A}{n^4\,\log ^2n}}\Bigr) + O\,\Bigl( |a|^{-\frac{1}{n}}\Bigr) \] (\(f(x) = ax^{n+1} + \cdots \) ist ein reelles Polynom vom Grade \(n +1\), und es wird \[ 2(n + 1)\,|a|\,P\leqq 1 \] vorausgesetzt). Unter Benutzung dieser Ungleichung beweist Verf: \[ \zeta (1+it) = O\,\Bigl((\log t)^{\frac{4}{5}+\varepsilon}\Bigr) \] für jedes \(\varepsilon > 0\). Weiter wird bewiesen: Für jedes \(\varepsilon > 0\) ist \(\zeta (s)\neq 0\) in \[ \sigma >1-\frac {K}{(\log t)^{\frac{4}{5}+\varepsilon}}\qquad (s=\sigma +it), \] wo \(K\) von \(\varepsilon \) abhängt (\textit{N. G. Chudakov} [Rec. math., Moscou (2) 1, 591--602 (1936; JFM 62.0344.03)] hatte, weil er ältere Resultate von Vinogradov benutzte, nur \(\dfrac {10}{11}+\varepsilon \) statt \(\dfrac {4}{5}+\varepsilon \) erhalten). Verf. gibt schließlich die entsprechende Abschätzung für das Restglied in der Primzahlformel. (III 6.)