Some properties of functions of exponential type. (Q2596273)

Verf. beweist folgendes: Sei \(f (z)\) eine ganze Funktion vom Exponentialtypus, also \(|f(z)|=O\,(e^{\lambda\,|z|})\), die auf der reellen Achse reellwertig und beschränkt ist, genauer \(|f (x)|\leqq 1\). Dann folgt: I. Die Funktion \(\cos (\lambda z + \alpha )- f(z)\) hat für alle reellen \(\alpha \) nur reelle Nullstellen oder verschwindet identisch. Überdies sind alle Nullstellen einfach, ausgenommen vielleicht solche Punkte der reellen Achse, wo \(f (x) = \pm 1\) ist. II. Die Ungleichung \(|f(z)|\leqq \text{cosh } \lambda y\), \(y=\mathfrak Fz\), gilt in der ganzen \(z\)-Ebene, und Gleichheit kann nur auf der reellen Achse eintreten, sofern \(f (z)\) nicht von der Form \(\cos (\lambda z + \alpha )\) ist. Der Beweis gelingt mit Hilfe eines Lemmas von \textit{Pólya} und \textit{Szegö} (Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (1925; F. d. M. 51, 173 (JFM 51.0173.*)), Bd. 2, S. 36), wonach \(|f(z)|\leqq e^{\lambda\,|y|}\), für Funktionen der betrachteten Art, durch geschickte Abschätzung der Differenz \(f(z) - \cos (\lambda z + \alpha )\) und Anwendung des Satzes von \textit{Rouché} über die Anzahl der Nullstellen. Das Resultat des Verf. enthält als einfache Folgerungen Verschärfungen zweier Sätze von \textit{S. Bernstein} (Commun. Soc. math. Kharkoff, 14): 1) Für ganze Funktionen der betrachteten Art gilt \(\{ f'(z)\} ^2 +\lambda ^2\,\{ f(z)\} ^2 \leqq \lambda ^2\). 2) Ist \(P (s)\) ein Polynom höchstens vom Grad \(n\) mit reellen Koeffizienten, gilt \(|P (s)| \leqq 1\) im Intervall \((- 1, + 1)\) der reellen Achse und sind \(A\) und \(B\) die Halbachsen der Ellipse durch s mit den Brennpunkten \(+1\) und \(-1\), so gilt \[ |P(s) | \leqq \frac {1}{2}\,\{ (A + B)^n + (A +B)^{-n}\} . \]