On the directions of Borel of meromorphic functions of finite order \(> \frac {1}{2}\). (Q2596279)

Verf. betrachtet meromorphe Funktionen \(f (z)\) von endlicher Ordnung \(\varrho >\frac {1}{2}\), für die in einem Winkelraum \(A\) mit dem Scheitel 0 und der Öffnung \(\dfrac {\pi }{k}\,\Bigl(\dfrac {1}{2}<k<\varrho \Bigr)\) \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{r\to\infty }\, \frac {N\,(r, a, A)}{V(r)} =\beta >0 \] ist für einen Wert \(a\) \(\bigl(N\,(r, a, A) =\) Dichte der \(a\)-Stellen im Sektor \((A, | z | \leqq r)\); \(V(r)\) die bekannte Vergleichsfunktion für die Charakteristik \(T (r, f)\bigr)\). Er zeigt zunächst: Es gibt eine Folge \(\{ R_\nu \} \), so daß \[ n\bigl(S(\nu, B),\,f= c\bigr) > K(\varrho, k')\, V(R_\nu ) \] für alle Werte c in einem Kreis \(C_\nu \) vom Radius \(\frac {1}{2}\), wenn \(n\bigl(S(\nu, B),\,f= c\bigr)\) die Anzahl der Nullstellen von \(f(z) - c\) im Durchschnitt \(S (\nu, B)\) des Ringes \(\dfrac {R_\nu }{S+1}\leqq |z|\leqq R_\nu \), \(S>0\), und eines beliebigen Winkelraumes \(B\) in \(A\) bedeutet. Dies ist ein ähnliches Resultat, bewiesen auf ähnliche Art wie bei \textit{G. Valiron} (Acta Math., Djursholm, 47 (1926), 117-142 (F. d. M. 51, 256 (JFM 51.0256.*)), insbesondere S. 137-138). Mittels eines Satzes von \textit{Rauch} (J. Math. pur. appl. (9) 12 (1933), 109-171 (JFM 59.1035.*), insbesondere S. 133) folgt weiter: Sind \(P\), \(Q\), \(R\) drei meromorphe Funktionen, die gewissen Bedingungen genügen, so gibt es eine Folge von Kreisen \(\varGamma (\nu )\) \[ |z-x(\nu )|=\alpha \,|\,x(\nu )\,|,\;\;\frac {R_\nu }{S+1} < |\,x(\nu )\,| < R_\nu, \] in denen \(n\,\bigl(\varGamma (\nu ), f-\pi \bigr) > \alpha ^3 \cdot V(R_\nu )\) für n gleich mindestens einer der drei Funktionen \(P\), \(Q\), \(R\), wobei \(n\,\bigl(\varGamma (\nu ), f-\pi \bigr)\) die Anzahl der Nullstellen von \(f (z)- \pi (z)\) in \(\varGamma (\nu )\) bedeutet. Fassen wir nun jene meromorphen Funktionen \(\pi (z)\), die den Bedingungen \[ T(r,\pi )<\eta (r) \cdot V(r),\;\;\;r>r_0(\pi ), \;\;\;\lim _{r\to\infty }\,\eta (r)\,V(r) = \infty,\;\;\;\eta (r)\to 0, \] genügen, zu einer Klasse \(K(\eta, f)\) zusammen, so genügen irgend drei Funktionen \(R\), \(P\), \(Q\) dieser Klasse obigen Bedingungen, und es folgt schließlich: Es gibt in \(A\) mindestens einen Strahl \(D\), so daß in jedem beliebigen Winkelraume \(\varOmega \) mit \(D\) als Winkelhalbierender \[ \operatornamewithlimits{\overline {lim}}_{r\to\infty } \frac {n\,(r,\pi,\varOmega )}{V(r)} > 0 \] ist für alle Funktionen \(\pi \) der Klasse \(K(\eta, f)\), ausgenommen höchstens zwei.