On the theory of bounded functions (Q2596286)

Verf. beweist mit klassischen, einfachen Überlegungen folgende, zum Teil neuen Sätze: 1. Wird ein schlichtes Gebiet \(G\) der \(w\)-Ebene, das den Einheitskreis enthält, durch \(z = g(w)\) mit \(g(0) = 0\) auf einen Kreis \(|z| < \varrho \) konform abgebildet, so gilt in \(|w|\leqq r<1\) \[ \Bigl|\frac {wg'(w)}{g(w)}-\frac {1}{1-r^2}\Bigr| < \frac {r}{1-r^2}. \] Bei dieser Abbildung geht jeder in \(G\) liegende Kreis um \(w = 0\) in ein in Bezug auf \(z = 0\) sternförmiges Gebiet über. 2. Es sei \(f (z)\) regulär in \(|z| <1\), \(|f(z)| \leqq 1\), \(f(0) \neq 0\). Dann ist die Punktmenge, in der \(|f(z)| >|z|\) gilt, ein zusammenhängendes, \(z = 0\) enthaltendes, in bezug auf diesen Punkt sternförmiges Gebiet, in dem \(| f' (z) | < 1\) gilt. 3. Ist \(G\) ein schlichtes Gebiet der \(w\)-Ebene, das den Punkt \(w =\infty \) enthält und dessen Rand zu \(|w|\leqq 1\) gehört, und wird \(G\) durch \(z= g(w)\) mit \(g(\infty ) = \infty \), \(g'(\infty ) = 1\) schlicht konform auf \(|w|\geqq \varrho \) abgebildet, so gilt in \(|w|\geqq r>1\) \[ \Bigl|\frac {wg'(w)}{g(w)}-\frac {r^2}{r^2-1}\Bigr| < \frac {r}{r^2-1}, \] und ferner gilt überall in \(|w|>1\) \[ |g(w) - w|<1. \]