Zur analytischen Theorie der Grenzkreisgruppen. II, III. II: Divisorentheorie der automorphen Formen komplexer Dimension. III: Divisorentheorie und automorphe Primformen; Summanden\-systeme; arithmetisch ausgezeichnete Multiplikatorsysteme. (Q2596342)

\textbf{II.} Für die weiteren Untersuchungen (Teil I: Math. Ann. 115 (1937), 23-67; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 304) werden auf der Fläche \(\mathfrak B\) Divisoren \(\mathfrak d\) als Potenzprodukte von zu \(\mathfrak B\) gehörigen Punkten eingeführt. Für einen Nichtverzweigungspunkt \(\mathfrak p\) in \(\mathfrak d\) ist der Expo\-nent eine ganze Zahl, für einen Verzweigungspunkt der endlichen Ordnung \((l - 1)\) eine rationale Zahl \(\dfrac al\), \(a\) ganzzahlig, und für einen Verzweigungspunkt unendlicher Ordnung eine beliebige komplexe Zahl. Falls die Summe der Exponenten eines Divisors existiert, heißt sie die Ordnung von \(\mathfrak d\). Von den Divisoren auf \(\mathfrak B\) ausgehend, werden durch Über\-gang von \(\mathfrak B\) zu einem kanonischen Fundamentalbereich \(\mathfrak K\) von \(\varGamma\) die Divisoren \(\langle f\rangle\) einer automorphen Form \(\{\varGamma, -r, v\}\), \(f (\tau)\not\equiv 0\), definiert. Das additive und multiplikative Rechnen mit Divisoren geschieht nach den bekannten Regeln. Für Grenzkreisgruppen erster Art berechnet sich die Ordnung des Divisors einer Form aus \(\{\varGamma, - 2,1\}\) zu \(2p - 2 + q\), wobei \(p\) das Geschlecht von \(\mathfrak B\) und \(q = \sigma + {\sum\limits_{k=1}^{e_0}}\left(1-\dfrac{1}{l_k}\right)\) das Verzweigungsmaß von \(\varGamma\) bezeichnet (\(\sigma\) Anzahl der Spitzen, \(e_0\) Anzahl der Ecken von \(\mathfrak K\) mit den Ordnungen \(l_k\), \(1\leqq k\leqq e_0\)). Aus einem Satz von \textit{Koebe} über die Grenzkreisuniformisierung algebraischer Gebilde vom Geschlecht \(p\) mit \(n_0 = \sigma + e_0\) relativen Verzweigungspunkten von den angegebenen Ordnungen folgt, daß \(2p - 2 + q\) für alle Grenzkreisgruppen erster Art positiv ist. Es sei \(\varGamma\) von erster Art. Dann wird gezeigt, daß für \(\sigma > 0\) stets zu jeder komplexen Zahl \(r\) und willkürlich gegebenen zu \(\varGamma\) und \(- r\) gehörigen Multiplikatorsystemen zu der Klasse \(\{\varGamma, -r, v\}\) eine nicht identisch verschwindende Form (sogar ein System von unendlich vielen linear unabhängigen Formen) existiert. Ist \(\sigma > 0\) nicht erfüllt, dann gilt: Aus der Existenz einer Form zu \(\varGamma\), \(- r\) mit speziellem Multiplikatorsystem \(v_1\) folgt die Existenz einer Form mit beliebigem Multiplikatorsystem \(v\): \[ \{\varGamma,-r,v_1\}\neq\{0\}\to\{\varGamma,-r,v\}\neq \{0\} \] (\(v_1\) festes, \(v\) beliebiges Multiplikatorsystem zu \(\varGamma\) und \(- r\)). Für \(\sigma > 0\) gibt es zu jedem willkürlich vorgegebenen Divisor \(\mathfrak d\) eine auto\-morphe Form \(\mathfrak f (\tau)\) zu \(\varGamma\) mit dem Divisor \(\langle \mathfrak f\rangle=\mathfrak d\). Notwendig und hinreichend da\-für, daß \(\mathfrak d\) Divisor einer automorphen Form zu \(\varGamma\) von der Dimension \(- r\) sei, ist \(\operatorname{ord} \mathfrak d = r\left(p-1+\dfrac{q}{2}\right)\). Einige Relationen aus I können mit den bis jetzt gefundenen Ergebnissen vervollständigt werden. Auf die folgenden Untersuchungen, die sich auf Verallgemeinerungen des Riemann\-Rochschen Satzes, des \textit{Brill-Noether}schen Reziprozitätssatzes und des Satzes über die Minimalanzahl der wirklichen, frei beweglichen Pole der Formen einer Klasse kom\-plexer Dimension beziehen, sei hier nur hingewiesen. \textbf{III.} Um den Divisor der allgemeinsten automorphen Form zu einer beliebigen Grenzkreisgruppe von erster Art zu bestimmen, wird das Integral der logarithmischen Ableitung, erstreckt über den Rand eines kanonischen Fundamentalbereiches, berechnet. Dabei erhält man zwei Darstellungen, einmal ord \(\delta\) und dann im wesentlichen den in I (21), (22) definierten Ausdruck \(w_n(S_1,\dots, S_n)\), wobei die \(S_i\) mit den zu \(\mathfrak K\) gehörigen kanonischen Erzeugenden übereinstimmen. Beide Darstellungen zusammen liefern für beliebige Grenzkreisgruppen erster Art, also auch für \(\sigma = 0\), die Beziehung \(\operatorname{ord} \mathfrak d = r\left(p-1+\dfrac{q}{2}\right)\). Es folgt nun, daß für \(\sigma = 0\) ein Multiplikatorsystem und automorphe Formen dann und nur dann existieren, wenn \(r\) ein ganzzahliges Vielfaches einer durch \(\varGamma\) be\-stimmten rationalen Zahl ist. Für beliebige Grenzkreisgruppen erster Art wird dann das vollständige System der automorphen Primformen aufgestellt. Damit gelingt dann auch die Darstellung der Divisoren durch Primform-Potenzprodukte. Die gewonnenen Formeln für die Multiplikatorsysteme der Primform-Potenzprodukte sind recht kom\-pliziert. Für die Berechnung des Ausdruckes \(w_n\) werden zwei Methoden angegeben, von denen die zweite allerdings nur bei Grenzkreisgrappen erster Art mit parabolischen Matrizen (\(\sigma > 0\)) anwendbar ist. Als Anwendung der bisher entwickelten Theorie werden Existenzsätze über arithmetisch ausgezeichnete Multiplikatorsysteme hergeleitet. Dabei werden diejenigen Multiplikatorsysteme \(v\) zu \(\varGamma\) von reeller Dimension \(- r\) betrachtet, die für alle \(L\) aus \(\varGamma\) die Gestalt haben: \[ v (L) = e^{\pi ir\frac bn}(-I\text{ in }\varGamma)\text{ und } v(L)=e^{2\pi ir\frac bn} (-I\text{ nicht in }\varGamma); \] \(b\) ist eine beliebige ganze und \(n\) eine fest vorgegebene natürliche Zahl. In diesem Zu\-sammenhang werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür angegeben, daß \(\varGamma\) eine Untergruppe \(\varGamma^*\) besitzt, die zu jedem gegebenen \(L\) aus \(\varGamma\) genau eine der beiden Matrizen \(L\) oder \(- L\) enthält.