A theorem on analytic continuation of functions in several variables. (Q2596347)

Verf. zeigt: Ist die Funktion \(f(z_1,\dots,z_n)\) im Tubenbereich \(\mathfrak T\) analytisch, so ist sie in die konvexe Hülle von \(\mathfrak T\) analytisch fortsetzbar. Dabei ist der Bereich \(\mathfrak T\) dadurch gekennzeichnet, daß er mit einem Punkt \(z_k^{(0)}=x_k^{(0)}+ iy_k^{(0)}\) (\(k = 1\), 2,\dots, \(n\)) alle Punkte \(z_k = x_k^{(0)}+ iy_k\) mit \(-\infty < y_k < + \infty\) enthält. In einer vorangehenden Arbeit hatte Verf. den entsprechenden Satz unter der Voraussetzung der Beschränktheit von \(f(z_1,\dots,z_n)\) in \(\mathfrak T\) bewiesen (vgl. Amer. J. Math. 59 (1937), 732-738; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 307). Zum Beweise wird \(f(z_1,\dots,z_n)\) in gewissen Teilbereichen von \(\mathfrak T\) nach Legendre\-schen Polynomen entwickelt und gezeigt, daß die Bereiche gleichmäßiger Konvergenz dieser Entwicklungen die konvexe Hülle von \(\mathfrak T\) ganz ausfüllen. -- Ref. bemerkt, daß sich der Satz mit Hilfe des Kontinuitätssatzes sogar für meromorphe Funktionen \(f(z_1,\dots,z_n)\) beweisen läßt.