Zur Theorie der gebrochenen Funktionen mehrerer Veränder\-licher. (Q2596356)

Verf. gibt einen ausführlichen Bericht über seine Untersuchungen zur Theorie der meromorphen Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Zunächst wird im \(R_{2n}\) der Veränderlichen \(x_1\),\dots, \(x_n\) durch eine positiv-definite Hermitesche Form eine Maßbestimmung eingeführt. Ist nun \(f(\mathfrak x)\), \(\mathfrak x = (x_1,\dots, x_n)\), eine meromorphe Funktion, so wird die Schar \(f (z\mathfrak a)\) von Funktionen der einen Veränderlichen \(z\) betrachtet. Dabei ist \(\mathfrak a = (a_1,\dots, a_n)\) ein Vektor der Länge 1, der den \((2n - 2)\)-dimensionalen projektiven Raum \(\mathfrak W_{2n-2}\) durchläuft, d. h. der bis auf einen nicht verschwindenden Faktor jeden von Null verschiedenen Wert genau einmal annimmt. Durch die im \(R_{2n}\) geltende Maß\-bestimmung ist auch \(\mathfrak W_{2n-2}\) eine Metrik aufgeprägt. Jeder Funktion \(f (z\mathfrak a)\), \(\mathfrak a\) fest, entsprechen nun charakteristische Funktionen \(T \big(f(z\mathfrak a), r\big)\), \(A \big(f(z\mathfrak a), r\big)\), \(N \big(f(z\mathfrak a), r\big)\), \(m \big(f(z\mathfrak a), r\big)\). Aus ihnen werden durch Mittelbildung die \(f(\mathfrak x)\) zugeordneten Größen \(T (r)\), \(A (r)\), \(N (r)\), \(m (r)\) gewonnen. Z. B. wird gesetzt \[ T (r) =\frac1{W_{2n-2}}\int\limits_{\mathfrak W_{2n-2}} T \big(f(z\mathfrak a), r\big)\,dw_{2n-2}(\mathfrak a); \] dabei ist \(dw_{2n-2}(\mathfrak a)\) das Inhaltselement und \(W_{2n-2}\) der Gesamtinhalt von \(\mathfrak W_{2n-2}\); ähnlich \(A (r)\), \(N (r)\), \(m (r)\). Es gilt dann das genaue Analogon zum ersten Hauptsatz der Nevanlinnaschen Theorie. Weiter werden die Begriffe der endlichen Ordnung, des Maximal-, Mittel- und Minimaltypus, sowie der Divergenz- und Konvergenzklasse auf Funktionen mehrerer Veränderlichen übertragen. Es wird gezeigt, daß auch hier ähnliche Sätze wie in der klassischen Theorie gelten. Zum Schluß beweist Verf: Eine ganze Funktion endlicher Ordnung hat auch auf linearen Teilmannigfaltigkeiten keine höhere Ordnung.