On Whittaker's confluent hypergeometric function. (Q2596419)

Durch Ersetzen der Whittakerschen Funktionen durch ihre Integraldarstellungen und Vertauschung der Reihenfolge von Integrationen berechnet Verf. die Integrale \[ \begin{multlined} \int\limits_0^{\infty} W_{k,m}(z)W_{k+2,m'}(z)\,dz=\\ \dfrac{\varGamma(2+m+m') \varGamma(2+m-m')\varGamma(2-m+m') \varGamma(2-m-m')}{ 6\varGamma(\frac12-k+m)\varGamma(\frac12 -k-m)} \vspace{-10pt} \end{multlined} \] \((|\mathfrak R(m)| + |\mathfrak R(m')|<2)\) \noindent und \[ \begin{aligned} \int\limits_0^{\infty} z^{n-2k-2} W_{k,m}\left(\dfrac12 z^2\right) D_n(z)\,dz =& \dfrac{\pi 2^{3k-n+\frac12}\varGamma(n-2k+2m)\varGamma(n-2k-2m)}{\varGamma(\frac12-k+m) \varGamma(\frac12 -k-m)\varGamma(\frac12-2k+n)}\\ (\mathfrak R(n-2k)-2|\mathfrak R(m)|>0&) \end{aligned} \] sowie einige weitere Integrale von ähnlichem Typus. Durch Anwendung der Operatorenrechnung gewinnt er eine Reihe von Rücklaufformeln sowie Formeln, welche das Verhalten der Whittakerschen Funktion bei wiederholten Differentiationen und Integrationen beschreiben. Beispiel: \[ W_{\frac12,m}(z) = z^{-\frac12}e^{\frac12 z}\left(-z^2 \dfrac{d}{dz}\right)^m (z^{1-2m}e^{-z}) \qquad (m=0,1,2,\ldots). \] Ferner leitet er eine Anzahl Reihenentwicklungen, z. B. die Reihe \[ \begin{multlined} M_{k,m}(x) M_{k.m}(y) =\\ \sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^r (\frac12-k+m)_r(\frac12+k+m)_r}{r!(2m+1)_r(2m+1)_{2r}} \left(\dfrac{xy}{x+y}\right)^{m+r-\frac12} M_{k,m+r}(x+y) \end{multlined} \] her. Aus den hergeleiteten Rücklaufformeln werden Sätze über die Nullstellen der Whittakerschen Funktion geschlossen. Keine der Funktionen \[ W_{k,m+1}(z),\;W_{k+1,m}(z),\;W_{k\pm\frac12,m\pm\frac12}(z),\;W_{k+1,m+1}(z) \] hat eine gemeinsame Nullstelle mit \(W_{k,m}(z)\). Zwischen zwei aufeinanderfolgenden (reellen) Nullstellen von \(W_{k,m}(z)\) liegt genau eine Nullstelle sowohl von \(W_{k+\frac12,m-\frac12}(z)\), als auch von \(W_{k+1,m}(z)\).