Integral representations for products of Whittaker functions. (Q2596424)

Die Whittakerschen konfluenten hypergeometrischen Funktionen \(W_{k,m}(x)\) lassen sich als Laplace-Transformierte \[ f(s)=\int\limits_0^{\infty} e^{-st} F(t)\,dt \equiv L\{F\} \] von elementaren Funktionen \(F (t)\) darstellen. Auf Grund des Faltungssatzes \[ f_1(s)f_2(s)=L\{F_1* F_2\} \] läßt sich also das Produkt von zwei \(W\)-Funktionen \(W_{k,m}\) und \(W_{l,m}\) als Laplace-Transformierte der Faltung \(F_1* F_2=\int\limits_0^t F_1(\tau) F_2(t-\tau)\,d\tau\) darstellen. Diese Faltung ergibt eine hypergeometrische Funktion, und so erhält man für \(W_{k,m}(x)W_{l,m}(y)\) eine Integraldarstellung, deren Integrand eine hypergeometrische Funktion enthält. Diese allgemeine Formel liefert durch Spezialisierung Formeln für die Weberschen parabolischen Zylinderfunktionen, Besselfunktionen, Laguerresche und Hermitesche Polynome usw., die in den \(W\)-Funktionen enthalten sind. -- Durch Reihenentwicklung der hypergeometrischen Funktion unter dem Integral erhält man eine Entwicklung des Produktes \(W_{k,m}(z)W_{l,m}(z)\) nach \(W\)-Funktionen.