A note on Gegenbauer polynomials. (Q2596434)

Ein partikuläres Integral der Differentialgleichung \[ (z^2-1) \dfrac{d^2y}{dz^2} + (2\nu+1) z\dfrac{dy}{dz}-n(2\nu+n)y=0 \] ist das Gegenbauersche Polynom \(C_n^{\nu}(z)\). Für ein zweites partikuläres Integral gewinnt Verf. die Darstellung \[ \begin{multlined} \qquad\dfrac{D_n^{\nu}(z)}{\varGamma(2\nu)} = C_n^{\nu}(z) \int\limits_z^{\infty} \dfrac{dt}{(t^2-1)^{\nu+\frac12}}\\ -(z^2-1)^{\frac12-\nu} \sum_{m=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} (\nu+n-2m-1) \dfrac{(1-\nu)_m(2\nu+n-m)_m}{(n-m)_{m+1}(\nu)_{m+1}} C_{n-2m-1}^{\nu}(z). \end{multlined} \tag{1} \] Außer für \(n= 0\) genügt \(D_n^{\nu}(z)\) denselben Rekursionsformeln wie \(C_n^{\nu}(z)\). Die hergeleitete Darstellung ist die Verallgemeinerung einer von \textit{Christoffel} stammenden Darstellung der Kugelfunktionen zweiter Art. Aus der Darstellung (1) wird auch eine Reduktionsformel für die verallgemeinerte hypergeometrische Reihe \(_6F_5\) mit dem Argument 1 gewonnen.