Coulomb's function. (Q2596450)

Verf. untersucht die Funktionen \[ C_n (a, x) = \int\limits_a^\infty e^{-x\mathop{\text{cosh}}u} \mathop{\text{cosh}} (nu)\, du,\quad S_n (a, x) = \int\limits_a^\infty e^{-x\mathop{\text{sinh}} u} \mathop{\text{cosh}} (nu) \,du, \] die in der Theorie gewisser Wellenbewegungen und bei der Berechnung von Erdströmen auftreten. Er gewinnt u. a. die Integraldarstellungen \[ \begin{aligned} C_0(a, x) &= \int\limits_0^\infty e^{-x\mathop{\text{cosh}} v \mathop{\text{sinh}} a} J_0(x \mathop{\text{sinh}} v) \mathop{\text{tgh}} v\, dv,\\ S_0(a, x) &= \int\limits_0^\infty e^{-(1+t)x\mathop{\text{sinh}}a} J_0(xt) \frac{dt}{1+t}. \end{aligned} \] Bei der weiteren Untersuchung wird die Funktion \[ W_n(t)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} t^{-s}\varGamma(s) \frac{(1-s)(2-s)\cdots(n-s)}{s(1+s)(2+s)\cdots (n+s)}\,ds \quad (c>0) \] verwendet. Es wird insbesondere die Entwicklung \[ C_0(a, x) = (1 - e^{-a}) \sum_{n=0}^\infty e^{-na} W_n(x \mathop{\text{cosh}} a - x) \] angegeben, die auch zur numerischen Berechnung von \(C_0\) verwendet werden soll. Für die Funktion \(W_n(t)\) werden eine Differentialgleichung dritter Ordnung, Rücklaufformeln und Integraldarstellungen sowie asymptotische Darstellungen angegeben.