On the sum, of ultraspherical polynomials. (Q2596459)

Es bedeute \(P^{(\lambda)}_n(x)\) den Koeffizienten von \(z^n\) in der Potenzreihenentwicklung von \((1 - 2xz+ z^2)^{-\lambda}\); ferner sei \[ S^{(\lambda)}_n(x) = P_0^{(\lambda)}(x) + P_1^{(\lambda)}(x) +\cdots+ P_n^{(\lambda)}(x). \] \textit{Fejér} hat bewiesen (Mat. fiz. Lapok 38 (1931), 161-164; F. d. M. \(57_{\text{II}}\)), daß die Polynome \(S^{(\lambda)}_n (x)\) für \(0 < \lambda\leqq\frac12\) im Intervalle \(- 1 < x < 1\) positiv ausfallen. Verf. untersucht den Fall \(- 1 < \lambda < 0\); von der Darstellung \[ P_n^{(\lambda)}(\cos\theta) = \sum_{k=0}^n\binom{k-1+\lambda}k \binom{n-k-1+\lambda}{n-k} \cos(n-2k)\theta \] ausgehend, beweist er in elementarer Weise, daß dann \(S_n^{(\lambda)} (x)\) an der Stelle \(x = 1\) sein (für \(n \geqq1\) einziges) Minimum für \(- 1 \leqq x \leqq 1\) erreicht; wegen \[ S_n^{(\lambda)}(1)=\binom{n+2\lambda}n = \frac{(2\lambda+1)(2\lambda+2)\cdots(2\lambda+n)}{n!} \] folgt daraus, daß die Fejérsche Ungleichung auch für \(- \frac12 < \lambda < 0\) gültig ist.