Weakly complete Banach spaces. (Q2596510)

Hauptergebnis ist der (für separable Räume bereits bewiesene) Satz (\textit{S. Banach}, Théorie des opérations linéaires (1932; F. d. M. \(58_{\text I}\), 420), p. 189, Satz 13 und \textit{V. Gantmakher, V. Šmulian}, C. R. Acad. Sci. URSS (2) 17 (1937), 91-94 (F. d. M. \(63_{\text I}\), 350), Satz 2): Es sei \(\mathfrak P\) ein vollständiger (nicht notwendig separabler), normierter, linearer Raum und \(\mathfrak X\) der adjungierte Raum des adjungierten von \(\mathfrak P\). Es ist \(\mathfrak X\) dann und nur dann mit \(\mathfrak P\) äquivalent, wenn \(\mathfrak P\) ``schwach vollständig'' ist. Verf. nennt dabei \(\mathfrak P\) ``schwach vollständig'', wenn \(\mathfrak P\) schwach vollständig ist bezüglich jedes im verallgemeinerten Sinne geordneten Systems \(\mathfrak L\), d. h. wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jeder Abbildung \(p_l\) von \(\mathfrak L\) auf \(\mathfrak P\) mit der Eigenschaft, daß \(\varlimsup\limits_{\mathfrak L}\|p_l\|\) endlich und \(\lim\limits_{\mathfrak L} \xi(p_l)\) für jedes stetige lineare Funktional \(\xi\) in \(\mathfrak P\) vorhanden ist, gibt es ein \(q\subset\mathfrak P\) mit \(\xi(q) = \lim\limits_{\mathfrak L} \xi(p_l)\) für jedes \(\xi\). Falls \(\mathfrak P\) separabel ist, stimmt diese Definition mit der \textit{Banach}schen überein. Der Beweis beruht auf Sätzen über die Darstellung stetiger linearer Funktionale, welche im wesentlichen auf \textit{Hildebrandt} (Trans. Amer. math. Soc. 36 (1934), 868-875; F. d. M. \(60_{\text I}\), 332) zurückgehen.