On integration in vector spaces. (Q2596516)

Verf. erörtert das Problem der Integration von Funktionen, deren Werte Elemente eines Banachschen Raumes \(\mathfrak X\) sind. Es wird bewiesen: Die Funktion \(x(s)\) ist meßbar (im Sinne Bochners), wenn und nur wenn \(x(s)\) schwach meßbar ist und die Werte \(x(s)\) in einem separablen Raume \(\mathfrak Y\) liegen. Das Integral wird folgendermaßen definiert: Eine über \(E\) meßbare Funktion \(x(s)\) ist integrabel, wenn ein \(x_E\in\mathfrak X\) existiert, so daß \(f(x_E)=\int\limits_E f(x(s))d\alpha\) für alle \(f\in\overline{\mathfrak X}\). Weiter ist dann \(x_E = \int\limits_E x(s)d\alpha\). Dieses Integral ist absolut stetig und vollständig additiv. Eine integrable Funktion \(x(s)\) ist fast überall durch abzählbar vielwertige integrable \(x_n(s)\) gleichmäßig approximierbar. Verf. vergleicht dieses Integral mit älteren Integralen. Eine Mengenfunktion \(X(R)\), deren Werte in \(\mathfrak X\) liegen und die über einem \(n\)-dimensionalen Euklidischen Raume definiert ist, heißt pseudodifferenzierbar, wenn es eine Funktion \(x(s)\) gibt, so daß für alle \(f\in\overline{\mathfrak X}\), \(f(X(R))\) fast überall zu \(f (x (s))\) differenzierbar ist. Notwendig und hinreichend für die Pseudodifferenzierbarkeit einer additiven absolut stetigen \(X(E)\) ist, daß \(X(E)\) integrabel sei. In dieser Arbeit findet man andere naheliegende Untersuchungen, über welche zu berichten hier nicht möglich ist.