Extensions of linear functionals, with applications to limits, integrals, measures, and densities. (Q2596518)

Das Symbol \([G,p,f,E]\) soll folgendes bedeuten: \(E\) ist ein Vektorraum; \(f\) ist ein Linearfunktional, das über einem Unterraum \(E_0\subset E\) definiert ist; \(G\) ist eine Gruppe von linearen Transformationen, die \(E\) auf sich selbst und \(E_0\) auf sich selbst abbilden; \(p\) ist ein über \(E\) definiertes Funktional mit den Eigenschaften \(p (x + y)\leqq p (x) + p(y)\), \(x,y\in E\); \(p(tx) = tp(x)\), \(t\geqq 0\), \(x\in E\); \(p(g(x))=p(x)\), \(g\in G\); endlich gilt: \(f(x)\leqq p(x)\), \(x\in E_0\), \(f (g (x)) = f (x)\), \(g\in G\). Wenn \([G, p,f, E]\) gilt, dann bedeutet \(\{G, p, f, E\}\) die Menge der über \(E\) definierten linearen Funktionale \(F\), für welche \(F(x)\leqq p(x)\), \(x\in E\); \(F(x) = f (x)\), \(x\in E_0\); \(F(g(x)) = F(x)\), \(g\in G\), \(x\in E\). Ein Satz von \textit{Banach} (Studia math., Lwów, 1 (1929), 223-229; F. d. M. \(55_{\text I}\), 240) lautet: Wenn \([I, p, f, E]\) gilt, wo \(I\) die Gruppe ist, die aus der Identität allein besteht, dann ist die Menge \(\{I, p, f, E\}\) nicht leer. Es sei nun \(G^*\) irgendeine von \(G\) derivierte Gruppe (die erste derivierte Gruppe ist die Kommutatorgruppe). Die Verf. beweisen: Wenn \([G, p, f, E]\) gilt und wenn \(\{G^*, p, f, E\}\) nicht leer ist, dann ist auch \(\{G, p, f, E\}\) nicht leer. Wenn insbesondere \(G\) auflösbar ist, so folgt nach diesem und dem \textit{Banach}schen Satz, daß \(\{G, p, f, E\}\) nicht leer ist. Eine Reihe von Anwendungen wird gegeben. Die hier untersuchten Gruppen entstehen in jedem Fall aus der Gruppe \(x' = \mu x+\lambda\), \(\lambda,\mu\neq 0\) reell, die in der Limes-, Maß-, und Integrationstheorie eine ausgezeichnete Rolle spielt.