On infinite direct products. (Q2596533)

Verf. definiert und untersucht das direkte Produkt der Räume \(\mathfrak H_\alpha\), \(\alpha\in I\), \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\), wo die \(\mathfrak H_\alpha\) unitäre, d. h. komplexe Euklidische Räume sind und die Menge \(I\) irgendeine Menge von Indices ist. Zuerst sind die Fragen zu behandeln, die mit der Definition und dem Kriterium für Konvergenz von \(\sum_{\alpha\in I}z_\alpha\), \(\prod_{\alpha\in I} z_\alpha\) zusammenhängen, wo die \(z_\alpha\) komplexe Zahlen sind. Ferner wird der Begriff der Quasikonvergenz eingeführt: \(\prod_{\alpha\in I}z_\alpha\) heißt quasikonvergent, wenn \(\prod_{\alpha\in I}|z_\alpha|\) konvergent ist. Sein Wert ist \(\prod_{\alpha\in I}z_\alpha\), falls dieses Produkt konvergiert, andernfalls 0. Eine Folge \(f_\alpha\), \(\alpha\in I\), ist eine \(C\)-Folge, wenn \(f_\alpha\in\mathfrak H_\alpha\) und wenn \(\prod_{\alpha\in I}\|f_\alpha\|\) konvergiert. Die Menge der Funktionale \(\varPhi(f_\alpha;\;\alpha\in I)\), definiert für alle \(C\)-Folgen \(f_\alpha\) und konjugiert linear in jedem \(f_{\alpha_0}\), wird mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es stelle \(\varPhi=\prod_{\otimes\alpha\in I}f^0_\alpha\) das lineare Funktional \(\varPhi(f_\alpha) = \prod_{\alpha\in I} (f^0_\alpha,f_\alpha)\) dar, das zu einer gegebenen \(C\)-Folge \(f^0_\alpha\) gehört. Die endlichen linearen Aggregate dieser \(\varPhi\) werden mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es wird in \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\) ein inneres Produkt \((\varPhi, \varPsi)\) definiert. \(C_0\)-Folgen \(f_\alpha\) werden definiert durch die Bedingung: \(\sum{ \alpha\in I}|\, \|f_\alpha\|-1|\) konvergiert. Jede \(C_0\)-Folge ist eine \(C\)-Folge; jede \(C\)-Folge mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha\neq 0\) ist eine \(C_0\)-Folge. Zwei \(C_0\)-Folgen \(f_\alpha\), \(g_\alpha\) sind äquivalent, \((f_\alpha;\;\alpha\in I)\approx(g_\alpha; \;\alpha\in I)\), wenn \(\sum_{\alpha\in I}|(f_\alpha,g_\alpha)-1|\) konvergiert. Die Beziehung \(\approx\) zerlegt die Menge der \(C_0\)-Folgen in elementefremde Klassen. Wenn \(f_\alpha\), \(g_\alpha\) zu verschiedenen Klassen gehören, so ist \[ (\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha, \prod_{\otimes\alpha\in I} g_\alpha)= \prod_{\alpha\in I} (f_\alpha, g_\alpha)=0. \] Wenn sie zur selben Klasse gehören, so ist \[ (\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha, \prod_{\otimes\alpha\in I} g_\alpha)=0 \] dann und nur dann, wenn ein gewisses \((f_\alpha,g_\alpha)=0\) ist. Es wird dann gezeigt, daß \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\) ein komplexer linearer Raum ist mit einem Hermiteschen definiten linearen inneren Produkt. Der nächste Schritt ist die Vervollständigung von \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\). Sie geschieht durch Adjunktion derjenigen \(\varPhi\in \prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\), für die Folgen \[ \varPhi_1,\varPhi_2,\ldots\in \prod\nolimits_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha \] existieren, derart, daß \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent 1)} \hfill \varPhi(f_\alpha; \;\alpha\in I)=\lim\limits_{r\to\infty} \varPhi_r(f_\alpha;\;\alpha\in I),\hfill} \] \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent 2)} \hfill \lim\limits_{r,s\to\infty}\|\varPhi_r-\varPhi_s\|=0.\hfill} \] Der sich ergebende Raum wird mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es wird bewiesen, daß er ein unitärer Raum ist. Wenn \(\mathfrak C\in\varGamma\) eine Äquivalenzklasse ist, so heißt die abgeschlossene lineare Menge, die durch alle \(\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha\) bestimmt ist, wo \(f_\alpha\) irgendeine \(C_0\)-Folge aus \(\mathfrak C\) ist, das \(\mathfrak C\)-adische unvollständige direkte Produkt der \(\mathfrak H_\alpha\) und wird mit \(\prod^{\mathfrak C}_{\otimes\alpha\in I} \mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es sei \(f^0_\alpha\) eine Folge in \(\mathfrak C\) mit \(\|f_\alpha\|=1\), \(\boldsymbol\aleph_\alpha\) die Dimension von \(\mathfrak H_\alpha\), \(K_\alpha\) eine Menge von Indices von der Mächtigkeit \(\aleph_\alpha\) und \(\varPhi_{\alpha,\beta}\), \(\beta\in K_\alpha\) eine vollständige orthonormale Menge in \(\mathfrak H_\alpha\), deren Wahl so getroffen sei, daß \(0\in K_\alpha\) und \(\varPhi_{\alpha,0}= f^0_\alpha\) ist. Es sei ferner \(F\) die Menge aller Funktionen \(\beta(\alpha)\), derart, daß \(\beta(\alpha)\in K_\alpha\) und \(\beta(\alpha)\neq 0\) nur für endliche viele \(\alpha\). Dann existieren alle \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\varPhi_{\alpha,\beta(\alpha)}\) und bilden ein vollständiges orthonormales System in \(\prod^{\mathfrak C}_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\). Das assoziative Gesetz bei der Bildung direkter Produkte wird untersucht, und es wird gezeigt, daß es auf unvollständige direkte Produkte beschränkt ist. Die Beziehung von Operatoren in den verschiedenen \(\mathfrak H_\alpha\) zu denen in \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) wird untersucht. Der Ring der beschränkten linearen Operatoren in \(\mathfrak H_\alpha\) wird mit \(\boldsymbol B_\alpha\) bezeichnet; der in \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) mit \(\boldsymbol B_\otimes\). Wenn \(A_{\alpha_0}\in\boldsymbol B_{\alpha_0}\), so existiert ein einziger Operator \(\overline{A}_{\alpha_0}\in\boldsymbol B_\otimes\) derart, daß für alle \(C\)-Folgen \(f_\alpha\) \[ \overline{A}_{\alpha_0}\prod_{\otimes\alpha\in I}f_\alpha = A_{\alpha_0}f_{\alpha_0}\otimes \prod_{\otimes\alpha\in I,\neq\alpha_0}f_\alpha. \] Die Menge aller \(\overline{A}_{\alpha_0}\) wird mit \(\overline{\boldsymbol B}_{\alpha_0}\) bezeichnet. Die Abbildung \(A_{\alpha_0}\rightleftarrows A_{\alpha_0}\) ist ein Ringisomorphismus von \(\boldsymbol B_{\alpha_0}\) und \(\overline{\boldsymbol B}_{\alpha_0}\subset \overline{\boldsymbol B}_\otimes\). Man bezeichne den durch alle \(\overline{A}_{\alpha_0}\) erzeugten Ring mit \(\boldsymbol B^{\#}\). Ein Hauptergebnis ist, daß \(\boldsymbol B^{\#}\) nicht identisch ist mit \(\boldsymbol B_\otimes\), denn jedes \(A\in\boldsymbol B^{\#}\) transformiert jedes \(\prod^{\mathfrak C}_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) in eine Teilmenge seiner selbst. Die Arbeit schließt mit der ins einzelne gehenden Diskussion eines Beispiels, das eine Illustration von ``Faktoren'' gibt (vgl. \textit{Murray, von Neumann}, Ann. Math., Princeton, (2) 37 (1936), 116-229; F. d. M. \(62_{\text I}\), 449), enschließlich derjenigen des Typus II\(_1\).