Involutorische Transformationen und selbstreziproke Funktionen. (Q2596564)

Die Arbeit behandelt teils Transformationen \(g = Tf\) der Gestalt \[ \int\limits_{0}^{x} g(\xi)\, d\xi = \int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\chi(tx)}{t} f(t)\, dt \tag{1} \] mit \(f(x)\), \(g(x)\), \( \dfrac{\chi(x)}{x}\) aus \(L^2(0,\infty)\), teils allgemeinere Abbildungen zweier Hilbertschen Räume aufeinander. Satz I. Damit für eine Transformation (1), die jeder Funktion \(f\) aus \(L^2\) eine Funktion \(g\) aus \(L^2\) zuordnet, mindestens eine Eigenfunktion \((f-\lambda T f = 0)\) existiert, die die besondere Eigenschaft hat, daß ihre Mellin-Transformierte \[ F(t)={\underset{n \to \infty} {\text{l. i. m.}}} \int\limits_{\frac{1}{n}}^{n} x^{-\frac{1}{2}+it} f(x)\, dx \] fast überall \(\neq 0\) ist, ist notwendig und hinreichend, daß \[ \int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\chi(ux)\chi(vx)}{x^2} \, dx = c \, \min (u,v) \qquad (c \neq 0) \tag{2} \] für alle positiven \(u\) und \(v\) ist. Es gibt dann genau zwei Eigenwerte \(\lambda = \pm c^{-\frac{1}{2}}\). Ist (2) erfüllt, so kann man durch Normierung von \(\chi\) die Zahl \(c\) zu 1 machen. Die Transformation ist dann eine ``general transform'' im Sinne von \textit{Watson} (Proc. London math. Soc. (2) 35 (1933), 156-199; F.~d.~M. 59\(_{\text{II}}\), 1079), d. h. eine involutorische Transformation \((T^2f=f)\). Die zu \(\lambda=1\) bzw. \(\lambda=-1\) gehörigen Eigenfunktionen heißen bekanntlich selbst- bzw. schiefreziprok. Satz II. Die Transformation (1) habe die Eigenschaft (2). Dann und nur dann, wenn \(T\) beschränkt ist, ist jede Funktion aus \(L^2\) darstellbar 1) als Summe einer selbstund einer schiefreziproken Funktion von \(T\), 2) als mittelkonvergente Summe \(\sum a_n \varphi_n\) mit \(\sum |a_n|^2<\infty\), wo die \(\varphi_n\) eine feste Folge von Eigenfunktionen durchlaufen. Dieser Satz wird auch auf allgemeinere involutorische Transformationen erweitert. Satz IV. Hat \(T\) die Eigenschaft (2), so bilden die selbstreziproken Funktionen einen Hilbertschen Raum. Allgemeine Transformationen: \(\mathfrak{H}\) und \(\mathfrak{K}\) seien zwei Hilbertsche Funktionenräume. Mit folgendem Verfahren lassen sich bekannte Sätze, die für eine Transformation \(g = Bf\) aus \(\mathfrak{H}\) nach \(\mathfrak{H}\) gelten, auf eine Transformation \(\varphi = Af\) aus \(\mathfrak{H}\) nach \(\mathfrak{K}\) übertragen: \(\{h_n\}\) und \(\{\eta_n\}\) seien vollständige orthonormale Systeme in \(\mathfrak{H}\) bzw. \(\mathfrak{K}\). Sei \(g(x)\) aus \(\mathfrak{H}\), also \(g = \sum a_n h_n\) mit \(\sum |a_n|^2<\infty\), so ordne man \(g(x)\) die Funktion \(\gamma(x) = \sum a_n \eta_n\) aus \(\mathfrak{K}\) zu. Die Transformation \(\gamma=Ug\) aus \(\mathfrak{H}\) nach \(\mathfrak{K}\) ist unitär, stetig und stetig umkehrbar, ihr Bereich ist ganz \(\mathfrak{H}\), ihr Vorrat ganz \(\mathfrak{K}\). -- Als Beispiel wird der für \(\mathfrak{H}=\mathfrak{K}\) bekannte Satz bewiesen: Satz \(\alpha\). Eine lineare abgeschlossene Transformation aus \(\mathfrak{H}\) nach \(\mathfrak{K}\), deren Bereich ganz \(\mathfrak{H}\) ist, ist beschränkt (stetig). Es werden noch einige allgemeine Sätze bewiesen, die auf die Sätze für die spezielle Transformation (1) Licht werfen. Schließlich wird eine Möglichkeit angegeben, alle linearen involutorischen Transformationen in einem Hilbertschen Raum zu überblicken, bzw. ihre abgeschlossenen oder stetigen oder isometrischen Sonderfälle. (IV 8 A.)