Quelques remarques sur les zéros des intégrales de Fourier. (Q2596566)

Durch sehr einfache Überlegungen wird gezeigt: Es sei \[ \varPhi(-x)=\varPhi(x), \; \; \varPhi(x)=\tfrac{1}{2} [\varPhi(x+0)+\varPhi(x-0)], \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |\varPhi(x)|\, dx < \infty, \] \[ K(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varPhi(x) \cos \,tx \, dx. \] Wenn für kein \(\alpha\) nicht abnehmende und beschränkte Funktionen \(\varrho_1(\omega)\) und \(\varrho_2(\omega)\) existieren, für die \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos \, \omega x \, d \varrho_1(\omega) = A \frac{\sin \, \alpha x}{x} + \varPhi(x), \] \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos \, \omega x \, d \varrho_2(\omega) = A \frac{\sin \, \alpha x}{x} - \varPhi(x) \] gilt, so hat \(K(t)\) unendlich viele reelle Nullstellen. Als Anwendung erhält man z. B. das Ergebnis von \textit{F. Bernstein} (Math. Ann. 79 (1918), 265-268; F.~d.~M. 46, 463): Das Integral \(K(t) = \int\limits_{0}^{\infty}e^{-x^4}\cos \, tx \,dx\) hat unendlich viele reelle Nullstellen.