On fractional differentials. (Q2596590)

Die Ableitung nichtganzer Ordnung wird so definiert: Zunächst wird die für ganzzahlige \(q \leqq n\) gültige Formel \[ \frac{d^q \,x^n}{dx^q}=\frac{n!}{(n-q)!} x^{n-q} \] auch für nichtganze \(q\) in Anspruch genommen. (Über den Sinn dieser Definition und ihre Abweichung gegenüber der üblichen s. \textit{G. Doetsch}, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation (1937; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 368), besonders S. 302-304). Ist ferner eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelbar, so wird die Ableitung gliedweise ausgeführt. Verf. hat nun für einige Funktionen derartige Ableitungen berechnet und durch Kurven graphisch dargestellt: \[ \begin{alignedat}{2} y & =x^4: \qquad \qquad && q=\tfrac{1}{2}, \, \tfrac{3}{2}, \, \tfrac{5}{2}, \, \tfrac{7}{2}, \, \tfrac{9}{2}, \\ y & =1-e^{-x}: \qquad && q=\tfrac{1}{2}, \\ y & = \sin \,x: \qquad \;\; && q=\tfrac{1}{2}, \\ y & = \sin \,\text{h} \,x: \qquad \; && q=\tfrac{1}{2}, \\ y & = J_1(x): \qquad \,\; && q=\tfrac{1}{2}. \end{alignedat} \] Es werden zwei physikalische Randwertprobleme angeführt, bei deren Behandlung mit dem Heavisidekalkül derartige Ableitungen auftreten.