Operational systems. (Q2596592)

Bei der Verwendung der Operatorenrechnung hat man oft ein Gefühl der Unsicherheit bezüglich der Anwendbarkeit gewisser Rechenregeln und bezüglich der Deutung der erhaltenen operatorischen Lösungen. Dies ist nach Meinung des Verf. darauf zurückzuführen, daß es eigentlich mehrere Systeme der Operatorenrechnung gibt, die oft gemischt werden und dann nicht immer zu vernünftigen Ergebnissen führen müssen. Verf. unterscheidet folgende sechs Systeme: \(A\): Einseitige Laplace-Transformation \[ \varPhi(p) = p \int\limits_{0}^{\infty} e^{-pt} \,f(t) \,dt. \] \(B\): Zweiseitige Laplace-Transformation; dasselbe wie das vorangehende Integral, nur mit den Grenzen \(-\infty\) und \(+\infty\). \(C\): Umkehrung beider Laplace-Transformationen: \[ f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{c-i \infty}^{c+i \infty} e^{zt} \, \varPhi(z) \frac{dz}{z}. \] \(D\): Ähnlich wie \(C\), aber mit einem anderen Integrationsweg, der, von \(-\infty\) kommend, den Punkt 0 in positivem Sinne umkreist und dann nach \(-\infty\) zurückkehrt. \(E\): Dieses System ist durch die gemeinsame Gültigkeit von \(A\) und \(C\) gekennzeichnet und gilt nur für solche Paare von Funktionen, welche die Gültigkeitsbedingungen der Riemann-Mellinschen Umkehrformel erfüllen. \(F\): Gültigkeit von \(B\) und \(C\) zugleich; ähnlich wie \(E\). Im allgemeinen muß man sich im Laufe einer und derselben Untersuchung auf die Verwendung \textit{eines} dieser sechs Systeme beschränken. Wenn man dann doch im Verlaufe einer Untersuchung von einem System zum anderen überzugehen gezwungen ist, so muß man besonders untersuchen, ob dieser Übergang statthaft ist. \(A\), \(C\), \(D\), \(E\) sind in vielen Fällen gleichbedeutend.