Sur l'indétermination d'un problème voisin du problème des moments. (Q2596608)

Satz: Zu irgend einer Folge \(a_0, \,a_1, \ldots\) gibt es unendlich viele Funktionen \(\varPsi (x)\) von beschränkter Variation in \(-\infty < x < \infty\) mit \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^n \,d \varPsi (x)=a_n \qquad (n=0, \,1, \ldots). \] Ergänzung I. \(b_1, \,b_2, \ldots\) sei eine Folge von reellen, verschiedenen Zahlen ohne endlichen Häufungspunkt. Unter den obigen \(\varPsi (x)\) gibt es solche, die in jedem Intervall, das kein \(b_n\) enthält, konstant sind. Ergänzung II. Unter den \(\varPsi (x)\) gibt es ganze transzendente Funktionen. Der Satz und Ergänzung I sind in Resultaten von \textit{Borel} (Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 12 (1895), 9-55; F.~d.~M. 26, 429) enthalten. Es wird ein Beweis für Ergänzung II gegeben und ein in den gleichen Bahnen laufender Beweis für den Satz und Ergänzung I angekündigt.