L'espace des répartitions linéaires. II: Les répartitions sur une droite. (Q2596610)

\textbf{I.} Bekannte Untersuchungen über die Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sollen in dieser Arbeit übertragen werden auf Massenverteilungen unter Zulassung auch negativer Massen. \(F(x)\) sei in diesem Sinn die Verteilungsfunktion der Gesamtmasse \(M = 2 \pi a_0\) auf die Peripherie des Einheitskreises. Als Fourierkoeffizienten der Verteilung werden die Größen \[ a_n=\frac{1}{2 \pi} \int\limits_{\zeta +0}^{\zeta +2 \pi +0} e^{-nix} \,d F(x) \qquad (n= \ldots -1, \,0, \,1, \ldots) \] definiert. -- Auf vierfache Weise wird eine Nullabweichung der Funktion \(F(x)\) definiert: Sei \[ \varPhi(a, \,b)=\underset{-\infty <c< \infty} \min \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} |\, F(x)+c \,| \,dx \] und \(\varPhi(a)=\varPhi(a, \,a+2 \pi)\), dann wird gesetzt: \[ \begin{aligned} & r_1=\frac{1}{2 \pi} \int\limits_{0}^{2 \pi} \varPhi(a) \,da, \;\; r_2=\max \, \varPhi(a), \\ & r_3=\frac{M}{4} + \frac{1}{2 \pi} \underset{-\infty <c< \infty} \min \int\limits_{-\pi}^{+\pi} \left| \, F(x) \frac{Mx}{2 \pi} + c \, \right| \,dx, \\ & r_4=\varPhi(a, \,b) \;\; \text{mit} \;\; b-a > 2 \pi. \end{aligned} \] Wenn irgendein \(r_{\nu}\) unendlich klein ist, so sind es die übrigen drei auch. ``Konvergenz einer Folge von Funktionen \(F_n(x)\) gegen Null'' soll im Folgenden heißen: Die Größen \(r_{\nu}\) \((\nu = 1, \,2, \,3, \,4)\) streben für die \(F_n(x)\) mit wachsendem \(n\) gegen Null. -- Es wird folgendes \textit{Theorem III} bewiesen: 1) Damit die durch \(F_{\nu}(x)\) definierte Verteilung mit \(\nu \to \infty\) gegen die durch \(F(x)\) definierte Verteilung konvergiert, ist die Konvergenz der Fourierkoeffizienten notwendig: \[ \lim \,a_n^{(\nu)}=a_n \qquad (n=\ldots -1, \,0, \,1, \ldots); \tag{*} \] 2) diese Bedingung ist nicht hinreichend; 3) man erhält notwendige und hinreichende Bedingungen, wenn man zu (*) noch die Bedingung hinzufügt, daß eine von \(\nu\) unabhängige Konstante \(K\) existiert, derart daß \[ \int\limits_{\zeta +0}^{\zeta +2 \pi +0} |\, dF_{\nu}(x) \,| \leqq K \] ausfällt. -- Beleuchtung anderer Konvergenzbegriffe. \textbf{II.} Werden Massenverteilungen auf der ganzen Geraden betrachtet, so empfiehlt sich als einfachste Definition der Konvergenz von \(F(x)\) gegen Null die, daß für jedes beliebige Intervall \((a, \,b)\) die Funktion \(\varPhi(a, \,b)\) gegen Null strebt. Dieser Konvergenzbegriff läßt sich in verschiedener Weise so deuten, daß eine gewisse Nullabweichung nach 0 konvergiert. -- Es werden noch Nullabweichungen anderer Art definiert und auf ihre Brauchbarkeit hin untersucht. (IV 16.)