Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffizienten. (Q2596656)

Verf. betrachtet die Funktionaloperation \[ \mathfrak L F(z) = l_0 F(z) + l_1 F^\prime (z) + l_2F^{\prime\prime} (z) + \cdots, \] die auf alle Funktionen \(F (z)\) aus einer der folgenden vier Klassen angewandt wird: 1) Funktionen, die am Nullpunkt regulär sind, 2) ganze Funktionen, 3) ganze Funktionen, deren Ordnung \(\leqq \varrho\) ist, wo \(\varrho \geqq 1\), 4) ganze Funktionen höchstens vom Typus \(t\) der Ordnung 1. In Kap. 1 wird für jede Klasse die notwendige und hinreichende Bedingung für die \(l_n\) angegebenen, damit \(\mathfrak L F(z)\) wieder zur gleichen Klasse gehört; bei der ersten Klasse lautet sie z. B.: \[ \lim_{ n \to \infty} | n! \, l_n |^{\tfrac 1n} =0. \] In Kap. 2 wird gezeigt, daß die Gleichung \(\mathfrak L F(z) = G (z)\), wenn \(G (z)\) eine Funktion aus einer der vier Klassen ist und die \(l_n\) der zu dieser Klasse gehörenden Bedingung genügen, stets (wenigstens) eine Lösung \(F (z)\) aus dieser Klasse hat. Dabei wird zunächst die Gleichung \(\mathfrak L F (z) = z^n\) durch ein Randintegral gelöst und dann aus solchen Lösungen durch Linearkombination eine Lösung für \(\mathfrak L F (z) = \sum a_nz^n\) gewonnen. Das dritte Kapitel behandelt nach einer anderen Methode noch einmal speziell die vierte Klasse, der auch die meiste bisher vorliegende Literatur gewidmet ist. Über die bekannten Resultate hinausgehend findet hier Verf. den Satz, daß eine Lösung \(F (z)\) vorhanden ist, deren ``Indikatordiagramm'' mit dem von \(G (z)\) übereinstimmt, d. h. bei der \[ \varlimsup_{r \to \infty} \frac {\log \, | F(re^{i \varphi})|}r = \varlimsup_{r \to \infty} \frac {\log \, | G(re^{i \varphi})|}r \] für alle \(\varphi\) ist. \ (IV 8 B.)