Étude du comportement asymptotique des solutions d'un système d'équations linéaires non homogènes aux différences du premier ordre à coefficients constants. (Q2596716)

Es handelt sich um das System \[ y_k(n) - \sum_{i=1}^r a_{ki} y_i(n - 1) = f_k(n - 1) \qquad (k = 1, \dots, r), \] und zwar um den ``beschränkten Fall'', d. h. um den Fall, daß das homogene System \((f_k = 0)\) nur beschränkte Lösungen hat. Das wichtigste Resultat, das nach einer Reihe von Hilfssätzen herauskommt, dürfte das folgende sein: Wenn die \(f_k(n - 1)\) Polynome höchstens \(n\)-ten Grades sind, dann hat die allgemeine Lösung die Gestalt \[ y_k(n) = \sum_{\lambda =0}^{m+1} H_{k\lambda} n^{m+1-\lambda} + \varphi_k(n), \] wo die \(\varphi_k(n)\) dem homogenen System genügen und \[ \lim_{n\to \infty} \frac{\varphi_k(1) + \varphi_k(2) + \cdots + \varphi_k(n)}{n} = 0 \] ist. Der ''beschränkte Fall'' läuft darauf hinaus, daß die charakteristischen Wurzeln lauter Beträge \(\leqq 1\) haben und daß diejenigen, deren Betrag \(=1\) ist, nur zu \textit{einfachen} Elementarteilern gehören. Das kommt auch in gewissen Formeln des Verf. implizit zum Ausdruck; doch scheint es ihm entgangen zu sein, daß man durch Transformation der Matrix \((a_{ki})\) auf die Normalform das Problem sehr vereinfachen und alle Resultate fast ohne Rechnung und ohne Hilfssätze gewinnen kann.