Sur certains systèmes différentiels admettant des solutions indéterminées. (Q2596734)

Die Differentialgleichungen des Systems \[ F_i(x_1, x_2, x_3, x_4; dx_1, dx_2, dx_3, dx_4) = 0 \qquad (i = 1, 2, 3) \] mögen folgende Eigenschaften besitzen: \ (1) Die \(F_i\) sind homogene Polynome in den Differentialen, deren Koeffizienten analytisch in den Variablen \(x_j\) sind; \ (2) es ist identisch \[ F_i(x_1, x_2, x_3, x_4; dx_1, dx_2, dx_3, dx_4) + F_i^\prime (x_3, x_4, x_1, x_2; dx_3, dx_4, dx_1, dx_2) = 0. \] Die Lösungen des Systems zerfallen dann in drei Klassen: \ (1) ordinäre Lösungen, die dem klassischen Existenzsatze entsprechen, (2) unbestimmte Lösungen, die von einer willkürlichen Funktion eines Argumentes abhängen; die Integralkurven liegen alle in der linearen Mannigfaltigkeit \(x_1 = x_3, x_2 = x_4\) (kritische Mannigfaltigkeit); \ (3) Grenzlösungen, deren Bestimmung auf die Integration einer Differentialgleichung zweiter Ordnung hinauskommt. -- Es werden Beispiele der in Frage kommenden Systeme aus dem Gebiete der Mechanik und der Geometrie angegeben. Es wird auch hingewiesen auf die Möglichkeit einer Verallgemeinerung für den Fall mehrerer Veränderlichen.